切换线性系统状态估计的最差拓扑熵和最小数据率| 2022年2月| ACM通信</t我tle> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/all.css" rel="stylesheet"> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/jplayer.pink.flag.css" rel="stylesheet"> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/sections/videos.css" rel="stylesheet"> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/tipsy.css" rel="stylesheet"> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/colorbox.css" rel="stylesheet"> <style> html{overflow: auto !important;} </style> <style> iframe body { overflow: hidden; } iframe { border: none; margin: 0; } .fav_hacker_news { background:url('https://img.icons8.com/color/48/000000/hacker-news.png') no-repeat center #FFF; background-size: 21.5px; } .fav_hacker_news:hover { background:url('https://img.icons8.com/color/48/000000/hacker-news.png') no-repeat center #e6e9ea; background-size: 21.5px; } .fav_bar a.fav_reddit { background-size: 22px; background:url('//www.eqigeno.com/images/icons/reddit.gif') no-repeat center #FFF; } .fav_bar a.fav_reddit:hover { background-color: #e6e9ea; } .fav_bar a.fav_facebook { background-size: 22px; background:url('//www.eqigeno.com/images/icons/facebook.gif') no-repeat center #FFF; } .fav_bar a.fav_facebook:hover { background-color: #e6e9ea; background:url('//www.eqigeno.com/images/icons/facebook.gif') no-repeat center #e6e9ea; } body { margin: 0 } #acmWidget.resourcesWidget .dateNews { margin-left: 10px; } </style> </head> <body id="body-main" itemscope itemtype="http://schema.org/Article"> <div id="domain-info" data-domain="www.eqigeno.com"></div> <div class="JumpLink" id="PageTop"></div> <div id="container"> <div id="layout"> <header class="topHeader"> <a href="//www.eqigeno.com/" title="ACMgydF4y2Ba" id="topLogo">ACM</一个><d我v id="instName"> <img src="//www.eqigeno.com/images/icons/acm_header.png" height="40" width="40" class="logo-mini" alt="acm-headergydF4y2Ba"> </div> <a href="//www.eqigeno.com/login" title="登录gydF4y2Ba" id="topSignIn">登录</一个><d我v id="topForm"> <form action="/search" method="get"> <div class="portaInput"> <label for="searchInput" id="labelSearchInput" class="inField"></label> <input type="text" id="searchInput" class="st-default-search-input" placeholder="Search" name="q"> </div> <button name="search submit" type="submit" id="searchSubmit">去</gydF4y2Babutton> </form> </div> <div id="topBar"> <ul> <li><a href="https://www.acm.org/" title="ACM.orggydF4y2Ba">ACM.org</一个></li> <li><a href="https://campus.acm.org/public/qj/brandingqj/cacm.cfm" target="_blank" title="加入ACMgydF4y2Ba">加入ACM</一个></li> <li><a href="//www.eqigeno.com/about-communications" title="vwin德赢AC米兰官网网址">vwin德赢AC米兰官网网址</a></li> <li><a href="//www.eqigeno.com/acm-resources" title="vwin德赢网页版">vwin德赢网页版</a></li> <li class="last-child"><a href="//www.eqigeno.com/alerts-and-feeds" title="警报&提要gydF4y2Ba">警报&提要</一个></li> <li class="last-child"><a href="https://www.facebook.com/Communications-of-the-ACM-521319564596131/" style="margin: 0;padding: 0;margin-right: 1px;margin-top: -2px;"><img src="//www.eqigeno.com/images/icons/facebook.png" alt="脸谱网gydF4y2Ba" style="height: 18px;width: 18px;"></a><a href="https://twitter.com/cacmmag" style="margin: 0;padding: 0;margin-top: -1px;margin-right: 4px;"><img src="//www.eqigeno.com/images/icons/twitter.png" alt="推特gydF4y2Ba" style="width: 16px;height: 16px;"></a><a href="//www.eqigeno.com/alerts-and-feeds/rss-feeds" style="margin: 0;padding: 0;"><img src="//www.eqigeno.com/images/icons/rss.png" alt="rssgydF4y2Ba" style="width: 14px;height: 14px;"></a></li> </ul> </div> <hgroup> <h1><a href="//www.eqigeno.com/" title="ACM通信gydF4y2Ba">ACM通信</一个></h1></hgroup> <nav> <ul> <li class="first-child"><a href="//www.eqigeno.com/" class="menuText itemHome">首页</一个></li> <li> <div class="portaDropdown"> <a class="withMenu menuText itemCurrent" href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/4">vwin德赢AC米兰官网网址</a> <div class="menuLinks currenIssueDropdown"> <a class="menuCover" href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/4">vwin德赢acAPP </a> <span class="dropDownIssueTitle">vwin德赢AC米兰官网网址本期:2022年4月</年代p一个n><一个href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/4/259407-trends-in-computer-science-research-within-european-countries">欧洲国家计算机科学研究的趋势</一个><一个href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/4/259398-explainable-ai">可辩解的人工智能</一个><一个href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/4/259419-digital-twins-and-artificial-intelligence-as-pillars-of-personalized-learning-models">数字双胞胎和人工智能作为个性化学习模型的支柱</一个><一个class="lastLink" href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/4">查看目录</一个></d我v> </div></li> <li> <div class="portaDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/news" class="withMenu menuText itemNews">新闻</一个><d我v class="menuLinks newsDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/news" class="lastLink">最新消息</一个><一个href="//www.eqigeno.com/news/archive" class="lastLink">新闻存档</一个></d我v> </div></li> <li> <div class="portaDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/blogs/about-the-blogs" class="withMenu menuText itemBlogs">博客</一个><d我v class="menuLinks blogsDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/blogs/about-the-blogs">关于博客</一个><一个href="//www.eqigeno.com/blogs/blog-cacm">BLOG@CACM</一个><一个href="//www.eqigeno.com/blogs/blogroll">友情链接</一个><一个href="//www.eqigeno.com/blogs/archive" class="lastLink">博客档案</一个></d我v> </div></li> <li> <div class="portaDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/opinion" class="withMenu menuText itemOpinion">的意见</一个><d我v class="menuLinks opinionDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/opinion/articles">文章</一个><一个href="//www.eqigeno.com/opinion/interviews">面试</一个><一个href="//www.eqigeno.com/opinion/archive" class="lastLink">意见归档</一个></d我v> </div></li> <li> <div class="portaDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/research" class="withMenu menuText itemResearch">研究</一个><d我v class="menuLinks researchDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/research">最新的研究</一个><一个href="//www.eqigeno.com/research/archive" class="lastLink">研究档案</一个></d我v> </div></li> <li> <div class="portaDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/practice" class="withMenu menuText itemPractice">实践</一个><d我v class="menuLinks practiceDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/practice">最新的实践</一个><一个href="//www.eqigeno.com/practice/archive" class="lastLink">实践存档</一个></d我v> </div></li> <li> <div id="careersNav" class="portaDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/careers" class="withMenu menuText itemOpinion">职业生涯</一个><d我v class="menuLinks opinionDropdown"> <ul> <li><a href="http://jobs.acm.org/jobs/search/results?rows=15&radius=0&view=List_Detail&sort=score+desc" target="_blank">找工作</一个></li> <li><a href="http://jobs.acm.org/jobs/resumes/create" target="_blank">发布一个简历</一个></li> <li><a href="http://jobs.acm.org/jobs/products" target="_blank">发布一个职位</一个></li> <li><a href="https://www.acm.org/publications/advertising" target="_blank">广告与我们</一个></li> <li class="lastLink"><a href="mailto:careers@acm.org">联系我们</一个></li> </ul> </div> </div></li> <li> <div class="portaDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/magazines" class="withMenu menuText itemPrevious on">存档</一个><d我v class="menuLinks previousDropdown"> <span class="previousIssueTitle">杂志资料馆收录了刊登在<我>一个CM通信</我>在过去50年里。</年代p一个n><d我v class="issue"> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/4">2022年4月(第65卷第4期)</一个></d我v> <div class="issue"> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/3">2022年3月(第65卷第3期)</一个></d我v> <div class="issue"> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/2">2022年2月(第65卷第2期)</一个></d我v> <a href="//www.eqigeno.com/magazines" class="lastLink">查看更多问题</一个></d我v> </div></li> <li><a href="//www.eqigeno.com/videos" class="menuText itemVideos">视频</一个></li> </ul> </nav> </header> <section> <div class="breadcrum"> <a href="//www.eqigeno.com/">首页</一个><年代p一个n>/</gydF4y2Ba年代p一个n><一个href="//www.eqigeno.com/magazines/decade">杂志存档</一个><年代p一个n>/</gydF4y2Ba年代p一个n><一个href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/2">2022年2月(第65卷第2期)</一个><年代p一个n>/</gydF4y2Ba年代p一个n><一个href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/2/258234-worst-case-topological-entropy-and-minimal-data-rate-for-state-estimation-of-switched-linear-systems">最坏情况拓扑熵和最小数据率…</一个><年代p一个n>/</gydF4y2Ba年代p一个n>全文</d我v> <div class="col0 floatLeft firstCol"> <span class="label">研究突出了</年代p一个n><h2>开关线性系统状态估计的最坏拓扑熵和最小数据率</h2><h6gydF4y2Baclass="subheader"></h6> </div> <hr class="dotted"> <div id="articleFullText" class="col1 floatLeft firstCol"> <span class="byline">Guillaume O. Berger、Raphael M. Jungers著<gydF4y2Babr>ACM通信，2022年2月，第65卷第2期，第111-118页<gydF4y2Babr>10.1145 / 3505269<gydF4y2Babr><a href="#comments">评论</一个></年代p一个n><d我v class="fav_bar"> <span>认为:</年代p一个n><一个href="#" onclick="javascript:window.print();" class="fav_print" title="打印gydF4y2Ba">打印</一个><一个href="//www.eqigeno.com/about-communications/mobile-apps/" class="mobile-apps" title="手机应用程序gydF4y2Ba">手机应用程序</一个><一个href="https://dl.acm.org/citation.cfm?id=3514042.3505269&coll=portal&dl=ACM" class="fav_acm_digital" target="_blank" title="ACM数字图书馆gydF4y2Ba">ACM数字图书馆</一个><一个href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/2/258234-worst-case-topological-entropy-and-minimal-data-rate-for-state-estimation-of-switched-linear-systems/pdf" class="fav_pdf" rel="nofollow" target="_blank" title="全文(PDF)gydF4y2Ba">全文(PDF)</一个><一个href="https://dl.acm.org/ft_gateway.cfm?id=3505269&ftid=2205095&dwn=1" class="fav_de" target="_blank" title="在数字版中gydF4y2Ba">在数字版中</一个><年代p一个n>分享:</年代p一个n><一个href="javascript:void(0);" class="fav_email" title="通过电子邮件发送gydF4y2Ba" id="sendByEmail">通过电子邮件发送</一个><一个href="javascript:void(0);" class="fav_reddit" onclick="addthis_sendto('reddit');" title="在reddit分享gydF4y2Ba">在reddit分享</一个><一个href="javascript:void(0);" class="fav_su" onclick="addthis_sendto('stumbleupon');" title="在StumbleUpon分享gydF4y2Ba">在StumbleUpon分享</一个><一个href="https://news.ycombinator.com/" class="fav_hacker_news" title="在Hacker News上分享gydF4y2Ba">在Hacker News上分享</一个><一个href="javascript:void(0);" class="fav_twitter" onclick="addthis_sendto('twitter');" title="在推特上分享gydF4y2Ba">在推特上分享</一个><一个href="javascript:void(0);" class="fav_facebook" onclick="addthis_sendto('facebook');" title="在Facebook上分享gydF4y2Ba">在Facebook上分享</一个><d我v class="addthis_toolbox "> <a href="https://www.addthis.com/bookmark.php?v=250&pubid=xa-4dcbeff2515fc93c" class="addthis_button_compact fav_more no_border">分享</一个></d我v> </div> <div class="clearer"></div> <div class="imageWithCaptionLeft" id="asset-42107"> <figure> <img alt="风琴停止与手gydF4y2Ba" src="//www.eqigeno.com/system/assets/0004/2107/012022_SNCAGO_Worst-Case.large.jpg?1642700211&1642700211" title="organ stops with hand"> </figure> </div> <p><a name="body-1"></a></p> <p>在本文中，我们研究了一个切换线性系统(SLS)的状态估计问题，当系统的观测受到通信约束时。我们引入了这类系统的最差拓扑熵的概念，并证明了这个量等于任意切换下系统状态估计所需的最小数据速率(每秒比特数)。此外，我们还提供了切换线性系统的最坏拓扑熵的封闭表达式，表明其评估简化为用多线性代数的工具从原始切换线性系统中得到的某些提升的切换线性系统的联合谱半径(JSR)的计算，从而可以受益于已有的算法对切换线性系统的稳定性分析。最后，利用这个表达式，我们描述了一种实用的编码器-解码器，它可以估计系统的状态，并以任意接近最坏拓扑熵的数据速率工作。</p><p><一个href="#PageTop">回到顶部</一个></p><p><一个name="body-2"></a></p> <h3>1.介绍</h3.。><p>gydF4y2Ba现代控制系统(如物联网、信息物理系统等)通常涉及通过共享的数字通信网络进行通信的空间分布组件。由于网络的数字化性质，所有数据在传输前都必须进行量化，从而产生量化误差，从而影响观测/控制方案的性能。此外，在应用中，网络的容量往往受到成本、功率、物理和/或安全约束的限制。因此，设计这样的网络系统的一个主要挑战是确定实现给定控制任务所需的最小通信数据速率。这一基本问题近年来激发了控制界的大量研究努力，在理论和实践上取得了巨大进展;正如在Hespanha等人的著作中所调查的。<年代up><a href="#R8">8</一个></年代up>以及马特维耶夫和萨夫金<年代up><a href="#R17">17</一个></年代up>。</p><p>gydF4y2Ba受到Shannon关于信息熵和可靠通信的最小数据率之间联系的工作的启发，人们很快意识到，网络系统的数据率要求问题与这些系统的拓扑熵的概念有很强的联系;例如，参见Matveev<年代up><a href="#R16">16</一个></年代up>以及Pogromsky和Savkin。<年代up><a href="#R19">19</一个></年代up>这个量在20世纪60年代末引入，现在在系统论中无处不在，它解释了在有界时间区间(相对于区间的长度)上以任意有限精度近似系统轨迹所必需的最小函数数的增长率。它也可以被看作是随着时间的演化，系统产生关于初始条件的信息的速率的度量。<年代up><a href="#R19">19</一个></年代up>例如，众所周知，对于某些类型的动力系统(如具有前不变初始集的时不变系统)，拓扑熵与状态估计的最小数据率相吻合。<年代up><a href="#R16">16</一个></年代up></p> <p>在本文中，我们研究了离散时间交换线性系统(SLSs)。我们感兴趣的是确定最小数据速率，在该速率下编码器需要将信息发送到解码器，以便能够以指数递减的误差估计系统的状态(另见<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/3cda5323-9cbc-461c-aae5-ab6262fa5ef4/f1.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=715,height=127'); return false;">图1</一个>插图)。sls是由一组有限的线性模式描述的系统，该系统可以随时间在这些模式之间切换。SLSs作为一种典型的信息物理系统，近年来引起了控制界的广泛关注。事实证明，这些系统在控制和分析方面极具挑战性，甚至对于稳定性或稳定性等基本问题也是如此。<年代up><a href="#R9">9</一个></年代up>特别是，与LTI系统相比，对于LTI系统，拓扑熵的综合基于特征值的表达式和状态估计的最小数据率都是可用的，对于SLSs，这些量都没有很好地理解。尽管如此，还是取得了一些理论和实践上的进展;例如，SLSs拓扑熵的上界和下界，<e米>当模态序列是先验固定的</e米>，在Yang等人的工作中导出，<年代up><a href="#R22">22</一个></年代up>，在Liberzon的工作中建立了当开关信号被解码器观察到时，SLSs反馈稳定的充分数据速率边界。<年代up><a href="#R14">14</一个></年代up></p> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/3cda5323-9cbc-461c-aae5-ab6262fa5ef4/f1.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=715,height=127'); return false;"><img alt="f1.jpggydF4y2Ba" height="74" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/3cda5323-9cbc-461c-aae5-ab6262fa5ef4/f1.jpg" width="415"></a><br><strong>图1所示。有限数据速率下的状态估计。</年代trong></p> <p>在这篇论文中，我们研究了拓扑熵和最小数据率问题的状态估计在一个<e米>最糟糕的情况</e米>方法;即，我们的目标是确定拓扑熵的尖锐上界，并为每个开关序列找到可以估计系统状态的编码器-解码器。最坏情况是交换系统研究中流行的一种方法，因为它提供了系统在每种情况下满足规范的正式保证。我们的贡献是双重的。首先，我们引入和研究了<e米>最坏的拓扑熵</e米>定义为系统在所有模态序列(又称模态序列)中所能达到的最大拓扑熵。切换信号)。我们给出了sls最坏情况拓扑熵的封闭表达式。更精确地说，我们表明它可以表示为“提升”SLS的联合谱半径(JSR, SLS稳定性的普遍度量)，表示原始系统对体积元素的作用(通过利用多线性代数中的工具获得)。这个表达式的主要优点是，它可以通过计算联合谱半径的成熟算法进行数值计算。因此，它允许对sls的最坏情况拓扑熵进行系统分析。</p><p>gydF4y2Ba第二个贡献是提供了一个实用的编码器-解码器，它以指数递减的估计误差估计SLS的状态，并以任意接近系统最坏情况拓扑熵的数据速率运行。特别是，与文献中可用的sls拓扑熵的其他边界(没有提出实用的编码器-解码器)相比，这证明了最坏拓扑熵对于数据速率约束下sls状态估计问题的实际相关性。</p><p>gydF4y2Ba本文的组织如下。在第二节中，我们介绍了拓扑熵和SLSs的概念。在第三节中，我们给出了SLSs的最坏拓扑熵的闭离表达式，并讨论了可计算性方面。在第4节中，我们提出了一种用于SLSs状态估计的实用编码-解码器，其工作速率尽可能接近系统的最坏拓扑熵。最后，在第5节中，我们演示了我们的结果在数值例子上的适用性。</p><p>gydF4y2Ba在我们的分析中，假设开关信号在状态估计过程中被编码器-解码器知道。这个框架的动机是这样一个事实，即在编码器的状态估计时，开关信号并不总是已知的<e米>设计</e米>，但可用于编解码器<e米>操作。</e米>一个应用的例子是，当一个人必须设计工厂(例如，工厂的)和观察者(放置在一个遥远的位置，例如，公司总部)之间的通信基础设施，而开关信号在基础设施设计时是未知的，或者可能会随着时间而改变。例如，给定的模式序列可能会被工厂的工厂使用一段时间。但几天或几个月后，可能需要另一个信号(例如，为了满足不断变化的消费者需求)。在这种情况下，只有设备和观察者需要重新配置，而通信基础设施保持不变是可取的。为了满足这些要求，通信通道将需要满足由最坏情况拓扑熵驱动的约束。在结束语中讨论了涉及数据速率约束的sls控制的其他应用实例。</p><p><e米>符号。</e米>ℕ是非负整数集合{0,1,2，…}。对于向量，·表示欧氏范数，对于矩阵，表示谱范数。<e米>B</egydF4y2Ba米>(ξ<e米>r</egydF4y2Ba米>）是ℝ中的欧氏闭球<年代up><em>d</e米></年代up>以ξ∈ℝ为中心<年代up><em>d</e米></年代up>,与半径<e米>r</egydF4y2Ba米>≥0。⌈·⌉，⌊·⌋分别是ceil和floor函数。我们关注的是离散时间的动力系统;因此,如果[<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub>1</年代ub>,<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub>2</年代ub>)(分别地。(<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub>1</年代ub>,<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub>2</年代ub>)表示的区间<e米>次</e米>(尤其是<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub>1</年代ub>,<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub>2</年代ub>∈ℕ)，则它被理解为只包含来自的整数<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub>1</年代ub>来<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub>2</年代ub>(职责。<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub>2</年代ub>- 1)包容性。</p><p><一个href="#PageTop">回到顶部</一个></p><p><一个name="body-3"></a></p> <h3>2.预赛</h3.。><p><我米g一个lt="*gydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>2.1.拓扑熵</年代trong></p> <p>考虑一个离散时间<e米>切换系统</e米></p><p><我米g alt="eq01.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/0095d13d-faaa-4a59-b467-f44b6aefa235/eq01.gif"></p> <p>σ(<e米>t</egydF4y2Ba米>∈Σ: = {1，…，<e米>N</egydF4y2Ba米>},<egydF4y2Ba米>f<gydF4y2Ba年代ub>我</年代ub></em>:ℝ<年代up><em>d</e米></年代up>→ℝ<年代up><em>d</e米></年代up>对所有<e米>我</e米>∈Σ。函数σ:ℕ→Σ称为<e米>开关信号</e米><年代up><a href="#FNA">一个</一个></年代up>的，并指定哪个<e米>模式</e米>，即哪个过渡图<e米>f<gydF4y2Ba年代ub>我</年代ub></em>，被切换系统每次使用。我们表示<e米>x</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>(<e米>t</egydF4y2Ba米>， ξ)解，在时间<e米>t</egydF4y2Ba米>，式(1)，开关信号σ和初始态ξ∈ℝ<年代up><em>d</e米></年代up>。让<e米>K</egydF4y2Ba米>⊆ℝ<年代up><em>d</e米></年代up>是一个内部非空的紧凑的集合，称为<e米>初始设置。</e米>我们将写(<e米>f</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>,<e米>K</egydF4y2Ba米>），用开关信号σ和初始集表示系统(1)<e米>K</egydF4y2Ba米>；也就是说,<e米>x</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>(·，ξ)是(的轨迹<e米>f</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>,<e米>K</egydF4y2Ba米>）当且仅当ξ∈<e米>K。</e米></p><p>我们在这里介绍拓扑熵的定义(首先由Bowen介绍，<年代up><a href="#R5">5</一个></年代up>并扩展到Kolyada和Snoha的非自治系统的情况<年代up><a href="#R12">12</一个></年代up>)。该定义依赖于在有界区间上以任意有限精度近似系统轨迹所必需的最小函数集的概念。</p><p>gydF4y2Ba更准确地说，设σ是系统(1)的开关信号，对于ε > 0和<e米>T</egydF4y2Ba米>∈ℕ，我们这么说<e米>E</egydF4y2Ba米>⊆<egydF4y2Ba米>K</egydF4y2Ba米>是一个(ε<e米>T</egydF4y2Ba米>）---<egydF4y2Ba米>生成集合</e米>(<egydF4y2Ba米>f</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>,<e米>K</egydF4y2Ba米>），如果对于每一个ξ∈<e米>K</egydF4y2Ba米>，有η∈<e米>E</egydF4y2Ba米>这样<e米>x</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>(<e米>t</egydF4y2Ba米>， η)≤ε<e米>t</egydF4y2Ba米>∈(0,<egydF4y2Ba米>T</egydF4y2Ba米>]。这意味着对于每一个轨迹<e米>x</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>(·，ξ)的(<e米>f</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>,<e米>K</egydF4y2Ba米>），有一个轨迹<e米>f</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>从<e米>E</egydF4y2Ba米>⊆<egydF4y2Ba米>K</egydF4y2Ba米>这是ε-接近<e米>x</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>(·，ξ)为所有<e米>t</egydF4y2Ba米>∈(0,<egydF4y2Ba米>T</egydF4y2Ba米>]。看到<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/b0e1ba1a-a5f0-4158-b523-92699e890f84/f2.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=487,height=381'); return false;">图2</一个>插图。我们让<e米>年代</e米><年代ub>跨度</年代ub>(ε<e米>T</egydF4y2Ba米>；<egydF4y2Ba米>f</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>,<e米>K</egydF4y2Ba米>）是an (ε，<e米>T</egydF4y2Ba米>) - - -生成集for (<e米>f</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>,<e米>K</egydF4y2Ba米>）。</p><p><一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/b0e1ba1a-a5f0-4158-b523-92699e890f84/f2.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=487,height=381'); return false;"><img alt="f2.jpggydF4y2Ba" height="325" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/b0e1ba1a-a5f0-4158-b523-92699e890f84/f2.jpg" width="415"></a><br><strong>图2。蓝色的轨迹集为(ε，<e米>T</egydF4y2Ba米>）生成(<e米>f</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>,<e米>K</egydF4y2Ba米>）如果每个轨迹<e米>x</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>(·，ξ)(例如，用红色表示的轨迹)包含在“ε-管”中，围绕着所有用蓝色表示的轨迹中的至少一个<e米>t</egydF4y2Ba米>∈(0,<egydF4y2Ba米>T</egydF4y2Ba米>]。</年代trong></p> <p><em>定义1。</e米>的<e米>拓扑熵</e米>开关信号σ和初始设定时(1)系统的<e米>K</egydF4y2Ba米>被定义为</p><p><我米g一个lt="eq02.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a4b05bae-9c9f-4289-93ca-0b11d820ee3b/eq02.gif"></p> <p>(左边的极限定义得很好，因为<e米>年代</e米><年代ub>跨度</年代ub>(ε<e米>T</egydF4y2Ba米>；<egydF4y2Ba米>f</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>,<e米>K</egydF4y2Ba米>）在ε上不增加。)</p><p><我米g一个lt="*gydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>2.2.切换线性系统</年代trong></p> <p>在本文中，我们感兴趣的是离散时间的拓扑熵<e米>切换线性系统</e米>(年代ls):</p><p><我米g一个lt="eq03.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/67386546-b057-4215-8443-f9d7b66d9be5/eq03.gif"></p> <p>其中σ为式(1)中的开关信号，<e米>一个<年代ub>我</年代ub></em>∈ℝ<年代up><em>d</e米>x<egydF4y2Ba米>d</egydF4y2Ba米></年代up>对所有<e米>我</e米>∈Σ。SLSs因此是系统(1)的特定实例，其中每个模式都是线性的。按照上一小节的表示法，我们让<e米>x</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>(<e米>t</egydF4y2Ba米>， ξ)是解，在时间<e米>t</egydF4y2Ba米>，为系统(3)，其中开关信号σ和初始状态ξ∈ℝ<年代up><em>d</e米></年代up>。在公式中，通过SLS(3)的模态集合A，可以方便地识别SLS (3)<年代ub>Σ</年代ub>: = {<e米>一个</e米><年代ub>1</年代ub>、……<e米>一个<年代ub>N</年代ub></em>}。我们还将使用(<e米>一个</e米><年代ub>σ</年代ub>,<e米>K</egydF4y2Ba米>，用开关信号σ和初始集表示系统(3)<e米>K。</e米>系统是线性的，状态从一个时间的过渡<e米>t</egydF4y2Ba米><年代ub>1</年代ub>一个时间<e米>t</egydF4y2Ba米><年代ub>2</年代ub>可以用矩阵表示:for<e米>t</egydF4y2Ba米><年代ub>1</年代ub>,<e米>t</egydF4y2Ba米><年代ub>2</年代ub>∈ℕ,<e米>t</egydF4y2Ba米><年代ub>1</年代ub>≤<e米>t</egydF4y2Ba米><年代ub>2</年代ub>，我们表示<e米>基本矩阵的解决方案</e米>的系统(3)从<e米>t</egydF4y2Ba米><年代ub>1</年代ub>来<e米>t</egydF4y2Ba米><年代ub>2</年代ub>与切换信号σ by</p><p><我米g一个lt="eq04.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/7d37a10b-fa12-41f9-83aa-b9367b0f8797/eq04.gif"></p> <p>基本矩阵解满足，对于所有ξ∈ℝ<年代up><em>d</e米></年代up>和<e米>t</egydF4y2Ba米><年代ub>1</年代ub>,<e米>t</egydF4y2Ba米><年代ub>2</年代ub>∈ℕ,<e米>t</egydF4y2Ba米><年代ub>1</年代ub>≤<e米>t</egydF4y2Ba米><年代ub>2</年代ub>,<e米>x</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>(<e米>t</egydF4y2Ba米><年代ub>2</年代ub>， ξ) = Φ<年代ub><em>σ</e米>,<egydF4y2Ba米>t</egydF4y2Ba米><年代ub>1</年代ub>,<e米>t</egydF4y2Ba米><年代ub>2</年代ub>,</年代ub><em>x</e米><年代ub><em>σ</e米></年代ub>(<e米>t</egydF4y2Ba米><年代ub>1</年代ub>ξ)。</p><p>gydF4y2Ba的拓扑熵(<e米>一个</e米><年代ub>σ</年代ub>,<e米>K</egydF4y2Ba米>),用<e米>h</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>一个</e米><年代ub>σ</年代ub>,<e米>K</egydF4y2Ba米>），定义方式与交换系统相同(见定义1)。然而，对于SLSs，<e米>h</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>一个</e米><年代ub>σ</年代ub>,<e米>K</egydF4y2Ba米>）不依赖于初始集的某一特定选择<e米>K</egydF4y2Ba米>⊆ℝ<年代up><em>d</e米></年代up>，只要它是紧凑的，内部非空;参见，例如，Yang等人<年代up><a href="#R23">23</一个></年代up>(命题2)。因此，我们省略符号中的初始集，用<e米>h</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>一个</e米><年代ub>σ</年代ub>的拓扑熵<e米>一个</e米><年代ub>σ</年代ub>。</p><p>gydF4y2Ba我们研究了系统(3)的最坏拓扑熵，即系统在其所有开关信号中所能达到的最大拓扑熵。</p><p><e米>定义2。</e米>的<e米>最坏的拓扑熵</e米>的系统(3)定义为</p><p><我米g一个lt="eq05.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/37962010-fe78-4a14-94af-058d4df1df87/eq05.gif"></p> <p>在哪里，至高无上的是所有的开关信号<e米>σ</egydF4y2Ba米>:ℕ→Σ。</p><p>gydF4y2Ba最坏情况拓扑熵的计算方面将在第3节中讨论。还应该注意的是，在这一点上，拓扑熵(被定义为系统的一种拓扑属性)和系统状态估计的最小数据速率(这涉及到编码器-解码器的概念)之间存在先验的无联系。在第4节中，我们展示了最坏情况下的拓扑熵<e米>是</e米>实际上等于任意切换下系统状态估计的最小数据速率，并且这个数据速率极限可以被<e米>实用</e米>编码器年代-de编码器年代。</p><p>gydF4y2Ba这里的例子说明了SLS、生成集、拓扑熵和最坏情况拓扑熵的概念。</p><p><e米>例1。</e米>考虑具有Σ ={1,2}和的一维SLS (3)<e米>一个</e米><年代ub>1</年代ub>= 1,<e米>一个</e米><年代ub>2</年代ub>= 2。设σ为开关信号交替模式1和2:σ =(1,2,1,2，…)系统的轨迹由此可得<e米>x</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>(<e米>t</egydF4y2Ba米>， ξ) = 2<年代up>⌊<e米>t</egydF4y2Ba米>/2⌋</年代up>ξ。我们将证明<我米g一个lt="cacm6502_m.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/1997058a-b3e5-4858-b840-985388e69359/cacm6502_m.gif">。如前所述，对于SLSs，只要涉及拓扑熵，初始集的选择并不重要;因此,我们修复<e米>K</egydF4y2Ba米>=(0,1]。</p><p>gydF4y2Baε > 0和<e米>T</egydF4y2Ba米>∈ℕ,让<e米>n</egydF4y2Ba米>=⌈ε<年代up>1</年代up>2<年代up>T / 2 - 1</年代up>⌉和<e米>E</egydF4y2Ba米>={0,1 /<e米>n</egydF4y2Ba米>2/<egydF4y2Ba米>n</egydF4y2Ba米>…1}。我们表明,<e米>E</egydF4y2Ba米>(ε<egydF4y2Ba米>T</egydF4y2Ba米>）生成(<e米>一个</e米><年代ub>σ</年代ub>,<e米>K</egydF4y2Ba米>）。为此，让ξ∈<e米>K</egydF4y2Ba米>，且令η∈<e米>E</egydF4y2Ba米>使|ξ - η| = min<年代ub>η‘∈<e米>E</egydF4y2Ba米></年代ub>| |ξ-η。那么，根据的定义<e米>E</egydF4y2Ba米>，则得出|ξ - η|≤1/(2<e米>n</egydF4y2Ba米>）≤ε2<年代up>-<e米>T</egydF4y2Ba米>/2</gydF4y2Ba年代up>。这意味着对于每一个<e米>t</egydF4y2Ba米>∈(0,<egydF4y2Ba米>T</egydF4y2Ba米>）|<e米>x</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>(<e米>t</egydF4y2Ba米>,ξ)-<e米>x</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>(<e米>t</egydF4y2Ba米>η) | = 2<gydF4y2Ba年代up>⌋⌊t / 2</年代up>|ξ-η|≤ε。因此,<e米>E</egydF4y2Ba米>(ε<egydF4y2Ba米>T</egydF4y2Ba米>）生成(<e米>一个</e米><年代ub>σ</年代ub>,<e米>K</egydF4y2Ba米>),因此</p><p><我米g一个lt="ueq01.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/7fa5b5a3-7090-4da9-9b9e-b4d9f6ff7fb7/ueq01.gif"></p> <p>代入式(2)，得到<我米g一个lt="cacm6502_ap.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/2d003752-9c19-4a2b-9bb4-a1f3a95d13ea/cacm6502_ap.gif">上限开了吗<e米>h</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>一个</e米><年代ub>σ</年代ub>):</p><p><我米g一个lt="ueq02.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/37e9a6d8-8251-4ba0-81f4-9914a7402dde/ueq02.gif"></p> <p>现在，我们来展示一下<我米g一个lt="cacm6502_ap.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/2d003752-9c19-4a2b-9bb4-a1f3a95d13ea/cacm6502_ap.gif">下界打开了吗<e米>h</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>一个</e米><年代ub>σ</年代ub>)。让<e米>米</e米>=⌈ε<年代up>1</年代up>2<年代up><em>T</e米>/2-2</gydF4y2Ba年代up>⌉- 1(我们可以假设，在不丧失一般性的情况下<e米>米</e米>>0，因为我们取ε→0和的极限<e米>T</egydF4y2Ba米>→¥），并定义<e米>F</egydF4y2Ba米>={0,1 /<e米>米</e米>2/<egydF4y2Ba米>米</e米>…1}。那么，对于任意不同ξ值，η∈<e米>F</egydF4y2Ba米>，表示|ξ−<e米>η</egydF4y2Ba米>| >ε2<年代up>2−<e米>T</egydF4y2Ba米>/2</gydF4y2Ba年代up>，使|<e米>x</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>(<e米>T</egydF4y2Ba米>ξ)−<e米>x</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>(<e米>T</egydF4y2Ba米>,<egydF4y2Ba米>η</egydF4y2Ba米>）| = 2<年代up>⌊<e米>T</egydF4y2Ba米>/2⌋</年代up>|ξ-η| > 2ε。这意味着</p><p><我米g一个lt="ueq03.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/4e6d5f6b-5c98-47db-9044-11671620a9d8/ueq03.gif"></p> <p>(例如，参见Liberzon和Mitra<年代up><a href="#R15">15</一个></年代up>，引理3，详情)。因此，在式(2)中注入，得到<我米g一个lt="cacm6502_n.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/18d3aa33-993f-4062-898c-6b40dfe2c7ac/cacm6502_n.gif">。</p><p>gydF4y2Ba对于最坏情况的拓扑熵，很直观的是，例如只使用模式2就给出了一个使拓扑熵最大化的开关信号σ: σ =(2,2,2，…)。在这种情况下,<e米>x</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>(<e米>t</egydF4y2Ba米>， ξ) = 2<年代up><em>t</e米></年代up>ξ，我们推导出来<e米>h</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>一个</e米><年代ub>σ</年代ub>) =日志<年代ub>2</年代ub>2 = 1。因此,<e米>h</egydF4y2Ba米><年代ub>*</年代ub>(一个<年代ub>Σ</年代ub>) = 1。</p><p><一个href="#PageTop">回到顶部</一个></p><p><一个name="body-4"></a></p> <h3>3.开关线性系统最坏情况拓扑熵的封闭表达式</h3.。><p>gydF4y2Ba我们首先给出了sls最坏情况拓扑熵的封闭表达式。这将需要来自SLSs的稳定性分析(即联合谱半径)和多线性代数(即矩阵的外幂)的概念。我们还讨论了用这个表达式计算SLSs最坏情况拓扑熵的算法方面。本节的最后讨论了与文献中相关结果的联系。</p><p><我米g一个lt="*gydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>3.1.联合谱半径</年代trong></p> <p>一组矩阵的联合谱半径(JSR)度量集合中矩阵乘积的最大范数的渐近增长率，当乘积的大小趋于¥时。更精确地说，对于矩阵a的有限集合<年代ub>Σ</年代ub>: = {<e米>一个</e米><年代ub>1</年代ub>、……<e米>一个<年代ub>N</年代ub></em>}⊆ℝ<年代up><em>d</e米>x<egydF4y2Ba米>d</egydF4y2Ba米></年代up>,<e米>联合谱半径</e米>的<年代ub>Σ</年代ub>被定义为</p><p><我米g一个lt="eq06.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/6623ccbb-d1c5-49e3-8e87-6b202f858c1b/eq06.gif"></p> <p>这个量是由Rota和Strang在960年提出的<年代up><a href="#R18">18</一个></年代up>来表征SLSs的稳定性。特别地，JSR具有以下属性(参见，例如，Jungers<年代up><a href="#R9">9</一个></年代up>，定理1.2):每一个轨迹<e米>x</egydF4y2Ba米><年代ub>σ</年代ub>(·，ξ)(即，对于任意开关信号σ和任意ξ⊆ℝ<年代up><em>d</e米></年代up>与A相关的SLS的δ<年代ub>Σ</年代ub>收敛于零<e米>t</egydF4y2Ba米>→¥，当且仅当A的JSR<年代ub>Σ</年代ub>满足<e米>ρ</egydF4y2Ba米>(一个<年代ub>Σ</年代ub>) < 1。</p><p><我米g一个lt="*gydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>3.2.矩阵的外幂</年代trong></p> <p>外代数是用于研究一般向量空间中面积、体积及其高维类似物的概念的代数结构。特别地，用线性算子的外幂的概念来表示这些算子对面积、体积等这类元素的作用。外部幂可以用一种无坐标的方式定义;例如，阿诺德<年代up><a href="#R1">1</一个></年代up>(3.2.2节)。但是，在本文中，由于篇幅所限，我们将把注意力限制在<e米>矩阵</e米>，它们本身是矩阵，因此允许基于坐标的定义。</p><p>gydF4y2Ba要做到这一点，让<e米>我</e米>是形式的所有多索引的集合(<e米>我</e米><年代ub>1</年代ub>、……<e米>我</e米><年代ub><em>k</e米></年代ub>∈{1,…,<e米>d</egydF4y2Ba米>}<gydF4y2Ba年代up><em>k</e米></年代up>,<e米>k</egydF4y2Ba米>∈{0…<e米>d</egydF4y2Ba米>},<egydF4y2Ba米>我</e米><年代ub>1</年代ub><<e米>我</e米><年代ub>2</年代ub>< <…<e米>我<年代ub>k</年代ub></em>。因此，大小<e米>我</e米>是2<年代up><em>d</e米></年代up>。</p><p>gydF4y2Ba让<e米>一个</e米>∈ℝ<年代up><em>d</e米>x<egydF4y2Ba米>d</egydF4y2Ba米></年代up>。的<e米>外部力量</e米>的<e米>一个</e米>,用<e米>一个</e米><年代up>∧</年代up>，是2<年代up><em>d</e米></年代up>X 2<年代up><em>d</e米></年代up>的元素索引其条目的矩阵<e米>我</e米>，并被定义为任何<e米>我</e米>,<egydF4y2Ba米>J</egydF4y2Ba米>∈<egydF4y2Ba米>我</e米>通过</p><p><我米g一个lt="ueq04.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/c01bd080-458b-403b-adac-ccac02fbcd64/ueq04.gif"></p> <p>(另见第5节的数值例子)</p><p>gydF4y2Ba下面的命题，其证明可以在Arnold中找到<年代up><a href="#R1">1</一个></年代up>(第3.2.3节)，总结了我们在本工作中需要的矩阵外幂的性质。</p><p>gydF4y2Ba命题1。<e米>让一个</e米>,<egydF4y2Ba米>B</egydF4y2Ba米>∈ℝ<年代up><em>d</e米>x<egydF4y2Ba米>d</egydF4y2Ba米></年代up>。</p><gydF4y2Baol> <li><em>我</e米><年代up>∧</年代up>=<e米>我</e米>, (<egydF4y2Ba米>一个B</egydF4y2Ba米>）<年代up>∧</年代up>=<e米>一个</e米><年代up>∧</年代up><em>B</e米><年代up>∧</年代up>, (<e米>一个</e米><年代up>⊤</年代up>）<年代up>∧</年代up>= (<e米>一个</e米><年代up>∧</年代up>）<年代up>⊤</年代up>。</gydF4y2Bali> <li><em>如果A是上三角形(resp。下三角形，或正交)，那么A也是</e米><年代up>∧</年代up><em>(如果I的元素按照规范的“词典编纂”顺序排序)。</e米></li> <li><img alt="cacm6502_o.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/c2a0700c-3651-402c-822b-4b767158a287/cacm6502_o.gif"><em>在哪里</e米><我米g一个lt="cacm6502_p.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/4d88abf2-4efb-4219-b4c9-2f40fcbda563/cacm6502_p.gif"><em>为A的奇异值。</e米></li> <li><em>A的特征值<年代up>∧</年代up>是由</e米>∏<gydF4y2Ba年代ub><em>我</e米>∈<egydF4y2Ba米>我</e米></年代ub>λ<年代ub><em>我</e米></年代ub>(<e米>一个</e米>),<egydF4y2Ba米>我</e米>∈<egydF4y2Ba米>我</e米>,<egydF4y2Ba米>在哪里</e米>λ<gydF4y2Ba年代ub>1</年代ub>(<e米>一个</e米>),…,λ<年代ub><em>d</e米></年代ub>(<e米>一个</e米>）<e米>为A的特征值。</e米></li> </ol> <p><img alt="*gydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>3.3.主要结果和后果</年代trong></p> <p>本节的主要贡献是以下定理，它为sls的最坏情况拓扑熵提供了一个封闭形式的表达式。</p><p>gydF4y2Ba定理1。<e米>的最坏拓扑熵</e米>系统(3)<e米>满足</e米></p><p><我米g alt="eq07.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/d07ac6ce-de4a-404b-b126-f15315a63c4d/eq07.gif"></p> <p>在哪里<我米g一个lt="cacm6502_q.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/989e0f36-27dd-4bbe-95bc-399d71c53b44/cacm6502_q.gif">。</p><p>gydF4y2Ba近几十年来，人们提出了各种性质迥异的方法，来评估一组矩阵的JSR;参见，例如，荣格斯<年代up><a href="#R9">9</一个></年代up>(2.3节)。虽然理论上对于一般JSR的计算存在令人沮丧的结果，但这些方法在实践中被证明是极其强大的，并提供了高精度的JSR近似算法。这些算法中的任何一种都可以用来近似式(7)的右侧项。从矩阵的定义来看，计算矩阵的外幂是很直接的，因此<我米g一个lt="cacm6502_r.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a0a28615-18e3-4fb8-aef4-8e9e43cf2347/cacm6502_r.gif">可以用系统的方式计算。但是，需要注意的是<我米g一个lt="cacm6502_r.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a0a28615-18e3-4fb8-aef4-8e9e43cf2347/cacm6502_r.gif">的维数随系统的维数呈指数增长，因此逼近的JSR的复杂性也会呈指数增长<我米g一个lt="cacm6502_r.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a0a28615-18e3-4fb8-aef4-8e9e43cf2347/cacm6502_r.gif">(这是维数的诅咒)。在这方面，我们注意到一种简单且与算法无关的方法，可以大幅加速的逼近<我米g一个lt="cacm6502_s.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/d789de89-3b6b-4597-8b4f-f73cb4139376/cacm6502_s.gif">-尽管不足以对抗维度的诅咒-是将其作为矩阵进行观察<我米g一个lt="cacm6502_t.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/4d18d5dd-b528-4808-8e39-1bc2c622f57e/cacm6502_t.gif">块是否对角(每个对角块对应给定大小的多索引<e米>我</e米>∈<egydF4y2Ba米>J</egydF4y2Ba米>的JSR的计算<我米g一个lt="cacm6502_r.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a0a28615-18e3-4fb8-aef4-8e9e43cf2347/cacm6502_r.gif">可以在不同对角线块之间解耦(参见Jungers<年代up><a href="#R9">9</一个></年代up>,命题1.5)。</p><p>gydF4y2Ba此外，在一些情况下，JSR的计算是直接的;例如，如果A<年代ub>σ</年代ub>是一组法(或三角)矩阵。结合这些观察结果和矩阵外幂的性质(命题1)，这就给出了计算这类矩阵集合最坏情况拓扑熵的有效方法。</p><p>gydF4y2Ba推论1。<e米>让</e米><e米>一个</e米><年代ub>Σ</年代ub>: = {<e米>一个</e米><年代ub>1</年代ub>、……<e米>一个</e米><年代ub><em>N</e米></年代ub>}⊆ℝ<年代up><em>d</e米></年代up>x<e米>d</egydF4y2Ba米><e米>是一组正规矩阵。对于每一个我</e米>∈Σ,<egydF4y2Ba米>让</e米>λ<gydF4y2Ba年代ub>1</年代ub>(<e米>一个</e米><年代ub><em>我</e米></年代ub>),…,λ<年代ub><em>d</e米></年代ub>(<e米>一个</e米><年代ub><em>我</e米></年代ub>）<e米>为A的特征值<年代ub>我</年代ub>。然后</e米></p><p><我米g alt="ueq05.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/22883e71-e205-41db-ac69-cdd351c2cd1f/ueq05.gif"></p> <p><em>对于上三角(resp。下三角矩阵。而且，在这种情况下，特征值在矩阵的对角线上。</e米></p><p>使用定理1和推论1计算SLSs最坏情况拓扑熵的数值说明性例子在第5.1小节中给出。</p><p><我米g一个lt="*gydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>3.4.相关的工作</年代trong></p> <p>的拓扑熵的最坏情况下提供了一个上限<e米>一个</e米><年代ub>σ</年代ub>，对于任意开关信号σ。估计的问题<e米>h</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>一个</e米><年代ub>σ</年代ub>)已经被解决了，例如，在Yang等人的作品中。<年代up><a href="#R22">22</一个>,<gydF4y2Ba一个href="#R23">23</一个></年代up>。因为重点放在一个特定的矩阵序列上<e米>一个</e米><年代ub>σ</年代ub>(不计其他序列)，界上<e米>h</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>一个</e米><年代ub>σ</年代ub>)在Yang等人的作品中获得。<年代up><a href="#R22">22</一个>,<gydF4y2Ba一个href="#R23">23</一个></年代up>一般都比最坏情况拓扑熵好。然而，在一些“条件不佳”的情况下(例如，对角线条目之间差异较大的三角形系统)，Yang等人的作品中可用的边界。<年代up><a href="#R22">22</一个>,<gydF4y2Ba一个href="#R23">23</一个></年代up>可以相当保守。在这些情况下，使用起来是有益的<e米>h</egydF4y2Ba米><年代ub>*</年代ub>(一个<年代ub>Σ</年代ub>)作为上限值<e米>h</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>一个</e米><年代ub>σ</年代ub>)。</p><p>gydF4y2Ba如前所述，联合谱半径是SLS理论的基石，近几十年来引起了广泛关注。<年代up><a href="#R9">9</一个>,<gydF4y2Ba一个href="#R18">18</一个>,<gydF4y2Ba一个href="#R21">21</一个></年代up>的度量<e米>最坏的</e米>系统轨迹的渐近增长率，在最坏情况拓扑熵的表征中遇到这个量是不足为奇的。</p><p>gydF4y2Ba外代数在动力系统理论中也得到了重视;特别是在李亚普诺夫指数的研究中<年代up><a href="#R1">1</一个>,<gydF4y2Ba一个href="#R2">2</一个></年代up>和entropy-related属性<年代up><a href="#R11">11</一个>,<gydF4y2Ba一个href="#R13">13</一个></年代up>动力系统和控制系统。例如，我们注意到科兹洛夫斯基的著名公式<年代up><a href="#R13">13</一个></年代up>对于离散时间自治动力系统的拓扑熵，描述为<e米>C</egydF4y2Ba米><年代up>¥</年代up>地图<e米>f</egydF4y2Ba米>:<egydF4y2Ba米>X</egydF4y2Ba米>→<egydF4y2Ba米>X</egydF4y2Ba米>，在紧黎曼流形上:</p><p><我米g一个lt="ueq06.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/e8b17abc-ce1b-4d15-946a-1eed7df9a3ee/ueq06.gif"></p> <p>定理1表明，在SLSs最坏拓扑熵的情况下，积分可以被所有开关信号的最大值所取代，并使实际计算能够使用SLSs的稳定性理论。</p><p><一个href="#PageTop">回到顶部</一个></p><p><一个name="body-5"></a></p> <h3>4.实际编码解码器</h3.。><p>gydF4y2Ba我们研究了通过有限数据速率通信网络估计系统(3)状态的问题。观察过程如下(另见<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/3cda5323-9cbc-461c-aae5-ab6262fa5ef4/f1.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=715,height=127'); return false;">图1</一个>插图)。在特定的传输时间，0 =<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub>0</年代ub><<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub>1</年代ub><<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub>2</年代ub><……(<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>∈ℕ)<e米>编码器</e米>测量状态<e米>x</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>)的系统，并发送一个符号<e米>e</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>)<e米>译码器</e米>通过一个无噪声数字通道，该通道可以在每个时间epoch中携带一个离散值符号[<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>,<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub>，从编码字母ε中选择<年代ub><em>j</e米></年代ub>。忽略传播延迟和传输误差，每个符号最多需要一个epoch duration<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub>- - - - - -<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>被完全传送。因此,在时间<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub>，解码器有<e米>e</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>T</egydF4y2Ba米><年代ub>0</年代ub>),…<e米>e</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>)，并生成估计<我米g一个lt="cacm6502_u.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/562d7620-8a72-4956-9dd3-54b09a425059/cacm6502_u.gif">的正在进行的时代的系统状态[<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub>,<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 2</年代ub>)。</p><p>gydF4y2Ba更准确地说，编码器是一个函数族<e米>C</egydF4y2Ba米>(·，·，·|<e米>j</egydF4y2Ba米>， σ](参数化为<e米>j</egydF4y2Ba米>系统的开关信号的epoch和σ的指标):</p><p><我米g一个lt="eq08.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/73cbc907-ab3d-4509-b91a-9c2d6af321c2/eq08.gif"></p> <p>在哪里<我米g一个lt="cacm6502_v.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/31bae8ec-bd0e-45bd-a2fb-389025896932/cacm6502_v.gif">是对当前状态的估计<e米>x</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>),δ<年代ub><em>j</e米></年代ub>满足<我米g一个lt="cacm6502_w.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a9d36a5b-7252-4191-a2ba-057bd1ccac36/cacm6502_w.gif">。输出是<e米>e</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米></年代ub>)∈ε<年代ub><em>j</e米></年代ub>⊆ℝ<年代up><em>d</e米></年代up>,ε<年代ub><em>j</e米></年代ub>有限集是否依赖于<e米>j</egydF4y2Ba米>和σ。符号<e米>e</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>)将被传输到解码器，最多在<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub>。解码器是一个函数族<e米>D</egydF4y2Ba米>(···|<e米>j</egydF4y2Ba米>,<egydF4y2Ba米>σ</egydF4y2Ba米>(参数化<e米>j</egydF4y2Ba米>和σ):</p><p><我米g一个lt="eq09.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/58763429-1079-4d3c-aa1f-82ad88c57547/eq09.gif"></p> <p>在哪里<我米g一个lt="cacm6502_x.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/bb4bad71-a8db-40c7-934b-bb822ac88da7/cacm6502_x.gif">满足<我米g一个lt="cacm6502_y.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a144bfd5-0f5a-4011-860e-b5c9bc3187ed/cacm6502_y.gif">,<e米>e</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>1</gydF4y2Ba年代ub>)为传输的符号<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>1</gydF4y2Ba年代ub>和被解码器接收到<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>。如果<e米>j</egydF4y2Ba米>=0,<gydF4y2Ba我米g一个lt="cacm6502_z.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/adeaf630-147f-4e71-a611-6a0ec1cdea9e/cacm6502_z.gif">。解码器输出当前纪元的状态估计[<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>,<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub>)。传输时间<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>，误差界δ<年代ub><em>j</e米></年代ub>，和编码字母ε<年代ub><em>j</e米></年代ub>只依赖于开关信号σ，因此它们可以由编码器和解码器独立计算。的<e米>数据速率R</e米>(以单位时间的比特为单位)的编解码器定义为</p><p><我米g一个lt="eq10.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/cd324891-ea83-44d5-8dcb-8c068df76211/eq10.gif"></p> <p>我们想要构建以指数递减误差估计系统状态的编码器-解码器。</p><p><e米>定义3。</e米>编解码器(式(8)和(9))据说是<e米>观察</e米>年代LS(3)具有初始设置<e米>K</egydF4y2Ba米>如果存在<e米>C</egydF4y2Ba米>>0,<egydF4y2Ba米>g</egydF4y2Ba米>∈(0,1），使得对于每个开关信号σ和初始状态ξ∈.<e米>K</egydF4y2Ba米>，它认为</p><p><我米g一个lt="eq11.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/50afbc31-bd2c-43e6-8c58-737276bf5983/eq11.gif"></p> <p><em>备注1。</e米>式(8)和式(9)假设整个开关信号在操作过程中被编码器和解码器所知道(关于这个假设的相关性，也参见第1节)。事实上，从编码器和解码器的实现(见下文各段)就可以清楚地看出，只要<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub>- - - - - -<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>正在进行的时代中使用的模式[<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>,<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub>都被编码器和解码器知道。</p><p>gydF4y2Ba我们描述了一个观察系统(3)的实用编码器-解码器家族，其数据速率可以尽可能接近系统的最坏情况拓扑熵。更准确地说，适用于任何紧凑集<e米>K</egydF4y2Ba米>⊆ℝ<年代up><em>d</e米></年代up>和<e米>R'</e米>><egydF4y2Ba米>h</egydF4y2Ba米><年代ub>*</年代ub>(一个<年代ub>Σ</年代ub>)，有这样一个初始集观察系统(3)的编解码器<e米>K</egydF4y2Ba米>而其数据速率满足<e米>R</egydF4y2Ba米>≤<egydF4y2Ba米>R'</e米>(另见本节末尾的定理2)。这个结果依靠联合谱半径和矩阵的外幂的性质来构建数据速率接近于所期望的等式(7)右侧项的编码器-解码器。</p><p><e米>编码解码器的实现。</e米>为<e米>r</egydF4y2Ba米>>0，我们让</p><p><我米g一个lt="ueq07.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/ff2cf3a2-5a83-43f8-b962-5e73a06ee032/ueq07.gif"></p> <p>在ℤ<年代ub>甚至</年代ub>(职责。ℤ<年代ub>奇怪的</年代ub>)为偶数的集合(resp。奇怪的)整数。通过构造，对于每一个ξ∈[-<e米>r</egydF4y2Ba米>,<egydF4y2Ba米>r</egydF4y2Ba米>]，有η∈<e米>我</e米>(<egydF4y2Ba米>r</egydF4y2Ba米>，使得|ξ - η|≤1，我们有|<e米>我</e米>(<egydF4y2Ba米>r</egydF4y2Ba米>）|≤⌈<e米>r</egydF4y2Ba米>⌉。如果<e米>r</egydF4y2Ba米>=0，我们令<e米>我</e米>(0）={0}。现在,对于<e米>r</egydF4y2Ba米><年代ub>1</年代ub>、……<e米>r<gydF4y2Ba年代ub>d</年代ub></em>≥0，我们定义</p><p><我米g一个lt="ueq08.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/cfca324d-6dbd-4f44-9921-4c364c61669f/ueq08.gif"></p> <p>其基数满足<我米g一个lt="cacm6502_aa.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/563c827b-cb75-4e4b-b9d3-e6f21699f509/cacm6502_aa.gif">在⌈α⌉* = max{⌈α⌉,1}。最后，对于ξ∈ℝ<年代up><em>d</e米></年代up>,我们让<e米>问</e米>(ξ)是网格中最接近ξ的点(<e米>r</egydF4y2Ba米><年代ub>1</年代ub>、……<e米>r<gydF4y2Ba年代ub>d</年代ub></em>)。因此,<e米>问</e米>(·)<我米g一个lt="cacm6502_ab.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/4c15bb42-795a-489d-8b6c-a7478e14ca04/cacm6502_ab.gif">-点量化器，满足</p><p><我米g一个lt="ueq09.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/950f8fa3-26f0-46ac-9854-748877eef758/ueq09.gif"></p> <p>让<e米>K</egydF4y2Ba米>⊆ℝ<年代up><em>d</e米></年代up>是一个紧凑集，并固定一个目标数据速率<e米>R'</e米>严格大于式(7)的右侧项，我们将构建一个具有初始集的观察SLS(3)的编码器-解码器<e米>K</egydF4y2Ba米>而其数据速率满足<e米>R</egydF4y2Ba米>≤<egydF4y2Ba米>R'</e米>。读者可能会发现有参考价值<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/c1ddff42-1ea3-41d7-9a6f-901f84fa269c/f3.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=722,height=492'); return false;">图3</一个>，其中表示了在编解码器定义中出现的不同量。)</p><p><一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/c1ddff42-1ea3-41d7-9a6f-901f84fa269c/f3.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=722,height=492'); return false;"><img alt="f3.jpggydF4y2Ba" height="283" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/c1ddff42-1ea3-41d7-9a6f-901f84fa269c/f3.jpg" width="415"></a><br><strong>图3。在编解码器的定义中出现的不同量。灰色的圆点(左下)代表Grid(<e米>r</egydF4y2Ba米><年代ub>1</年代ub>,<e米>r</egydF4y2Ba米><年代ub>2</年代ub>),<我米g一个lt="cacm6502_ac.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/9eaa796e-c78e-4047-993e-c63f074ed5ce/cacm6502_ac.gif">Φ的奇异值是多少<年代ub>σ</年代ub>,<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米></年代ub>,<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j + 1</e米></年代ub>。根据式(15)，格网(<e米>r</egydF4y2Ba米><年代ub>1</年代ub>,<e米>r</egydF4y2Ba米><年代ub>2</年代ub>)按比例旋转δ<年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub><em>d</e米><年代up>−1/2</年代up><em>U</e米>，并以<我米g一个lt="cacm6502_ad.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/1fbaf4bb-8e20-42b9-a823-1d0a25e610e6/cacm6502_ad.gif">。的最佳估计<e米>x</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub>)在接收符号之前<e米>e</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>)。在接待来访<e米>e</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>)，新的估计<我米g一个lt="cacm6502_ae.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/c480fb17-0c73-4cf1-b257-d59f8ccb312e/cacm6502_ae.gif">则由正方形的中心给出，其中状态<e米>x</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub>)的谎言。</年代trong></p> <p>让<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub>0</年代ub>= 0。同时,让<我米g一个lt="cacm6502_af.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/5cdb506a-6f55-435f-8859-90e950c3aa8f/cacm6502_af.gif">是初始态和δ的估计<年代ub>0</年代ub>0是这样的<我米g一个lt="cacm6502_ag.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/8f1131e3-0e9f-4d55-b68e-a6181eaaaad3/cacm6502_ag.gif">。修复α > 1.;为每一个<e米>j</egydF4y2Ba米>∈ℕ，令δ<年代ub>j</年代ub>=δ<年代ub>0</年代ub>=α<年代up><em>j</e米></年代up>(这就暗示了估计误差上的界限<我米g一个lt="cacm6502_ah.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/1755da78-9a2d-41f5-af7e-85faa13bd39c/cacm6502_ah.gif">在两次传输次数之间减少1/α因子<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>和<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub>，因此速率<e米>g</egydF4y2Ba米>估计误差(见定义3)的衰减由α给出<年代up>1 /τ</年代up>其中τ是上的上界<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub>- - - - - -<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>)。</p><gydF4y2Baul> <li>在时间<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>，的值。<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub>和ε<年代ub><em>j</e米></年代ub>计算如下(这些计算由编码器和解码器各自独立执行)。为<e米>T</egydF4y2Ba米>∈ℕ,<e米>T</egydF4y2Ba米>><egydF4y2Ba米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>,我们让<我米g一个lt="cacm6502_ai.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/0fe49e6f-ddbd-489b-b4f2-62cf9c1ddd62/cacm6502_ai.gif">，为基本矩阵解Φ的奇异值<年代ub>σ,<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米></年代ub>,<e米>T</egydF4y2Ba米></年代ub>。我们定义<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub>是最小的<e米>T</egydF4y2Ba米>∈ℕ,<e米>T</egydF4y2Ba米>><egydF4y2Ba米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>,满足</gydF4y2Bali> </ul> <p><img alt="eq12.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/447deab7-9348-4d61-b6ea-ee6decb7679d/eq12.gif"></p> <p>最后,<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub>被固定，我们让</p><p><我米g一个lt="eq13.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/9025b18e-aa67-4d40-a8c8-ea2609bab5eb/eq13.gif"></p> <ul> <li>编码器的定义如下。在时间<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>,如果<我米g一个lt="cacm6502_aj.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/f5452549-9795-4868-be61-a6df05405b90/cacm6502_aj.gif">状态的当前估计(存储在编码器的内存中)和<e米>x</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>)是系统的当前状态(编码器可以访问植物)，我们让<我米g一个lt="cacm6502_ak.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/ee29f1ff-f173-46b8-a2d2-38ba3c5998a7/cacm6502_ak.gif">。让<e米>U年代V</e米><年代up>*</年代up>是Φ的奇异值分解<年代ub>σ,<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米></年代ub>,<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub></sub>的对角线上的奇异值<e米>年代</e米>的顺序与式(13)相同。编码器在时间上发送的符号<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>被定义为</gydF4y2Bali> </ul> <p><img alt="eq14.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/72bef964-3e81-405b-b83b-fbee1363b2f7/eq14.gif"></p> <p>在哪里<e米>问</e米>(·)是与ε相关的量化器<年代ub><em>j</e米></年代ub>=网格(<e米>r</egydF4y2Ba米><年代ub>1</年代ub>、……<e米>r<gydF4y2Ba年代ub>d</年代ub></em>)。</p><gydF4y2Baul> <li>解码器的定义如下。在时间<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>，解码器接收该符号<e米>e</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>1</gydF4y2Ba年代ub>)，并有最后的估计<我米g一个lt="cacm6502_al.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/c67353c6-3e4f-497f-9944-542fc896c597/cacm6502_al.gif">在内存中。然后，解码器计算估计<我米g一个lt="cacm6502_aq.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/fdae890a-c762-48ee-bd49-6ecaf19c0416/cacm6502_aq.gif">对于正在进行的时代[<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>,<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub>)如下:</gydF4y2Bali> </ul> <p><img alt="eq15.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/e12a7939-839c-434d-9784-aa933db69f83/eq15.gif"></p> <p>在哪里<e米>U年代V</e米><年代up>*</年代up>是Φ的奇异值分解吗<年代ub>σ,<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j−1</e米></年代ub>,<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米></年代ub></sub>,如上所述。如果<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>= 0，简单使用初始估计值<我米g一个lt="cacm6502_af.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/5cdb506a-6f55-435f-8859-90e950c3aa8f/cacm6502_af.gif">在编解码器的参数中给定。接下来,定义归纳</p><p><我米g一个lt="eq16.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/9a992407-de23-4043-b567-85a0db7c79b8/eq16.gif"></p> <p>上述编解码器的实现在<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/928f5c1a-95fc-4c03-afa9-c4bc7703c1ef/f4.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=732,height=677'); return false;">图4</一个>。</p><p><一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/928f5c1a-95fc-4c03-afa9-c4bc7703c1ef/f4.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=732,height=677'); return false;"><img alt="f4.jpggydF4y2Ba" height="384" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/928f5c1a-95fc-4c03-afa9-c4bc7703c1ef/f4.jpg" width="415"></a><br><strong>图4。编码器和解码器实现。</年代trong></p> <p>综上所述，我们证明了任意开关信号下系统状态估计的最坏情况拓扑熵和最小数据率的等价性如下结果。</p><p>gydF4y2Ba定理2。<e米>让K</e米>⊆ℝ<年代up><em>d</e米></年代up><em>要紧凑，并考虑SLS</e米>(3.）。<e米>如果R '</e米><<egydF4y2Ba米>h</egydF4y2Ba米><年代ub>*</年代ub>(一个<年代ub>Σ</年代ub>),<e米>那么没有数据速率为R的编解码器</e米>≤<egydF4y2Ba米>R'表示观测系统</e米>(3.）。<e米>如果R '</e米>><egydF4y2Ba米>h</egydF4y2Ba米><年代ub>*</年代ub>(一个<年代ub>Σ</年代ub>),<e米>那么就有了一个数据速率为R的实用码解码器</e米>≤<egydF4y2Ba米>R'表示观测系统</e米>(3.）。</p><p><e米>备注2。</e米>值得注意的是参数α和的下列影响<e米>R</egydF4y2Ba米>在编解码器的输出上。由δ的定义<年代ub><em>j</e米></年代ub>=δ<年代ub>0</年代ub>/α<年代up><em>j</e米></年代up>， α为传输时刻最坏估计误差的下降速率<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>。另一方面，由式(12)，对于一个固定的α > 0，最大长度<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub>- - - - - -<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>的拓扑熵取决于允许的最大数据速率<e米>R</egydF4y2Ba米>编码解码器;较小的<e米>R</egydF4y2Ba米>越长,<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub>- - - - - -<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>。此外,如果<e米>R</egydF4y2Ba米>小于最坏情况的拓扑熵——而且只有在这种情况下，最大的epoch长度可能是无限的。</p><p><一个href="#PageTop">回到顶部</一个></p><p><一个name="body-6"></a></p> <h3>5.数值实验</h3.。><p><我米g一个lt="*gydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>5.1.最坏的拓扑熵</年代trong></p> <p>我们使用第3节的结果来计算具有一般矩阵和三角矩阵的SLSs的最坏情况拓扑熵。</p><p><e米>例2。</e米>考虑具有Σ ={1,2}和的二维SLS (3)</p><p><我米g一个lt="ueq10.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/60e3de5a-d50d-4e28-8191-9846415d9178/ueq10.gif"></p> <p>我们用定理1来计算这个系统的最坏情况拓扑熵。因此，我们计算的外幂<e米>一个</e米><年代ub>1</年代ub>和<e米>一个</e米><年代ub>2</年代ub>:</p><p><我米g一个lt="ueq11.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/01e3d483-5bb6-4ba7-abb6-8e4767b3503a/ueq11.gif"></p> <p>我们已经使用了JSR工具箱<年代up><a href="#R21">21</一个></年代up>(在MATLAB中)计算的JSR<我米g一个lt="cacm6502_r.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a0a28615-18e3-4fb8-aef4-8e9e43cf2347/cacm6502_r.gif">:这给<我米g一个lt="cacm6502_s.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/d789de89-3b6b-4597-8b4f-f73cb4139376/cacm6502_s.gif">。因此，我们得出这样的结论<e米>h</egydF4y2Ba米><年代ub>*</年代ub>(一个<年代ub>Σ</年代ub>) = 0.3079。</p><p><e米>例3。</e米>考虑有Σ ={1,2}，和的二维SLS (3)</p><p><我米g一个lt="ueq12.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/9b0f8c0a-9dd8-44e7-8e1e-23c93e2feb55/ueq12.gif"></p> <p>因为<e米>一个</e米><年代ub>1</年代ub>和<e米>一个</e米><年代ub>2</年代ub>是上三角矩阵，我们可以应用推论1。我们推导出与A相关的SLS的最坏拓扑熵<年代ub>Σ</年代ub>等于log<年代ub>2</年代ub>3 = 1.5850。读者会验证，直接应用定理1，也可以得到同样的结果;的确，的外幂<e米>一个</e米><年代ub>1</年代ub>和<e米>一个</e米><年代ub>2</年代ub>是由</p><p><我米g一个lt="ueq13.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/86a69763-0208-4c53-8f84-540a2be48941/ueq13.gif"></p> <p>上三角矩阵的JSR由其对角线项的最大绝对值给出(参见荣格斯<年代up><a href="#R9">9</一个></年代up>,命题2.3)。</p><p><我米g一个lt="*gydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>5.2.有限数据速率下的状态估计</年代trong></p> <p>我们应用第4节描述的编码器-解码器对例2中的SLS进行状态估计。编解码器的参数(参见<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/928f5c1a-95fc-4c03-afa9-c4bc7703c1ef/f4.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=732,height=677'); return false;">图4</一个>）的设置如下:我们固定值α = 2.5;的值<我米g一个lt="cacm6502_af.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/5cdb506a-6f55-435f-8859-90e950c3aa8f/cacm6502_af.gif">和δ<年代ub>0</年代ub>给出了<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/2617db58-be4b-49aa-9af9-7e9997a7b850/f5.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=733,height=784'); return false;">图5</一个>最高;并且我们对最大数据速率使用不同的值<e米>R</egydF4y2Ba米>，正如这里所解释的。</p><p><一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/2617db58-be4b-49aa-9af9-7e9997a7b850/f5.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=733,height=784'); return false;"><img alt="f5.jpggydF4y2Ba" height="444" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/2617db58-be4b-49aa-9af9-7e9997a7b850/f5.jpg" width="415"></a><br><strong>图5。上图:进化的<e米>x</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>t</egydF4y2Ba米>),<gydF4y2Ba我米g一个lt="cacm6502_am.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/79796883-369a-4701-b88f-b0487dc8961e/cacm6502_am.gif">对于具有数据速率的编解码器的示例执行<e米>R</egydF4y2Ba米>=4。下:估计误差的演化<我米g一个lt="cacm6502_an.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/b53bb35d-3793-46b2-a82a-df146860d774/cacm6502_an.gif">对于具有数据速率的编解码器的示例执行<e米>R</egydF4y2Ba米>=0。8(红色)和<e米>R</egydF4y2Ba米>=0。5(蓝色)。垂直的灰色线表示传输次数<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>(一般来说，由于解码器接收到一个新的符号，在这些时候误差会减小)。</年代trong></p> <p>首先，为了做一个全面的视觉说明，我们使用的数据速率为<e米>R</egydF4y2Ba米>=4，比最坏情况拓扑熵大得多(见例2)，这保证了每个epoch持续一个单位时间，即，<e米>T</egydF4y2Ba米><年代ub><em>j</e米>+ 1</年代ub>- - - - - -<e米>T<gydF4y2Ba年代ub>j</年代ub></em>= 1(请参见注释2)。编码-解码器的示例执行见<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/2617db58-be4b-49aa-9af9-7e9997a7b850/f5.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=733,height=784'); return false;">图5</一个>最高。在这张图中，美国<e米>x</egydF4y2Ba米>(<egydF4y2Ba米>t</egydF4y2Ba米>）的真实系统用蓝色表示。估计<我米g一个lt="cacm6502_u.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/562d7620-8a72-4956-9dd3-54b09a425059/cacm6502_u.gif">由编码器-解码器计算，用红色表示。</p><p>gydF4y2Ba其次，我们用更接近系统最坏情况拓扑熵的数据速率来模拟编解码器的执行，即<e米>R</egydF4y2Ba米>=0。8,<egydF4y2Ba米>R</egydF4y2Ba米>=0。5。对于这些值的<e米>R</egydF4y2Ba米>， epoch的持续时间更长(在我们的模拟中，在5到12之间)。估计误差的演化<我米g一个lt="cacm6502_ao.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/24cd4a28-2f87-41d7-8e45-4909294182a1/cacm6502_ao.gif">反映在<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/2617db58-be4b-49aa-9af9-7e9997a7b850/f5.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=733,height=784'); return false;">图5</一个>底部。不出所料，我们观察到，当数据率越高时，估计误差减小得越快。</p><p><一个href="#PageTop">回到顶部</一个></p><p><一个name="body-7"></a></p> <h3>6.结论</h3.。><p>gydF4y2Ba引入开关线性系统的最坏情况拓扑熵的概念。证明了这个量与这些有限数据率系统的状态估计问题相关。更精确地说，我们构建了一个实用的编码器-解码器，其工作速率接近于期望的最坏拓扑熵，该拓扑熵对任何开关信号估计系统的状态，并以指数递减的估计误差。我们还讨论了最坏拓扑熵的计算方面。特别地，我们提供了一个描述最坏拓扑熵的封闭表达式，作为从原始系统获得的某组矩阵的联合谱半径，取各个模态的外幂。在其他结果中，最坏拓扑熵的计算因此可以受益于近几十年来为计算开关线性系统的联合谱半径而开发的众多算法工具。</p><p>gydF4y2Ba在我们的框架中，假设开关信号为编解码器所知。然而，在注释1中注意到，实际上只有开关信号的几个未来值需要被编解码器知道。基于这一观察，我们计划表明，最坏情况拓扑熵的概念也与<e米>控制</e米>有限数据速率的开关线性系统。例如，我们认为包含开关信号作为控制输入的控制方案(参见，例如，荣格斯和梅森<年代up><a href="#R10">10</一个></年代up>以及Sun和Ge<年代up><a href="#R20">20.</一个></年代up>破产法4)。</p><p>gydF4y2Ba我们还计划考虑该框架的变体，例如，涉及对开关信号被编码器-解码器(非确定性系统)已知的假设的放松，并考虑在数据速率约束下的开关线性系统的稳定性。相关的问题已经被解决了，例如，在Savkin的作品中<年代up><a href="#R19">19</一个></年代up>(非确定性系统的拓扑熵);Colonius<年代up><a href="#R6">6</一个></年代up>， Hagihara和Nair<年代up><a href="#R7">7</一个></年代up>, Savkin<年代up><a href="#R19">19</一个></年代up>(有限数据速率的自主系统控制)，以及Liberzon<年代up><a href="#R14">14</一个></年代up>(有限数据速率的不确定切换线性系统的镇定)。另一个潜在的进一步研究方向是将我们计算最坏情况拓扑熵的结果与其他分析切换线性系统的技术结合起来，以对抗维数的诅咒。我们认为，例如<e米>p</egydF4y2Ba米>优势分析技术<年代up><a href="#R3">3.</一个>,<gydF4y2Ba一个href="#R4">4</一个></年代up>这样就可以决定系统是否具有低维主导行为。</p><p><一个href="#PageTop">回到顶部</一个></p><p><一个name="body-8"></a></p> <h3>致谢</h3.。><p>gydF4y2Ba作者要感谢Daniel Liberzon(伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校)对论文中提出的结果进行了深刻的讨论。</p><p><一个href="#PageTop">回到顶部</一个></p><d我v id="article-references"> <a name="references"></a> <h3>参考文献</h3.。><p><一个n一个米e="R1"></a>1.阿诺德，L.随机动力系统。在<e米>施普林格数学专论。</e米>斯普林格出版社,柏林,1998年版。</p><p><一个n一个米e="R2"></a>2.Barreira, L。<e米>李雅普诺夫指数。</e米>施普林格科学+商业媒体，巴塞尔，2017。</p><p><一个n一个米e="R3"></a>3.伯格，g.o.，福尼，F.，荣格斯，R.M.路径完整<e米>p</egydF4y2Ba米>-主导切换线性系统。在<e米>20.18我EEE第57届IEEE决策与控制会议(CDC)</e米>(2018）， IEEE，迈阿密，6446-6451。</p><p><一个n一个米e="R4"></a>4.伯杰，g.o.，荣格斯，R.M.关于李亚普诺夫定理的逆向<e米>p</egydF4y2Ba米>-主导开关线性系统。在<e米>20.19第十八届欧洲控制大会(ECC)</e米>(2019）， IEEE，那不勒斯，1263-1268。</p><p><一个n一个米e="R5"></a>5.Bowen, R.群自同态和齐次空间的熵。<e米>反式。点。数学。Soc。153</e米>(1971),401- 414。</p><p><一个n一个米e="R6"></a>6.Colonius, F.指数稳定的最小比特率和熵。<e米>年代我一个M J. Control Optim. 50</e米>， 5(2012)， 2988-3010。</p><p><一个n一个米e="R7"></a>7.Hagihara, R.， Nair, G.N.拓扑反馈熵的两个扩展。<e米>数学。控制信号系统。25</e米>， 4(2013)， 473-490。</p><p><一个n一个米e="R8"></a>8.Hespanha, J.P, Naghshtabrizi, P.， Xu, Y.网络控制系统的研究进展。<e米>Proc IEEE 95。</e米>， 1(2007)， 138-162。</p><p><一个n一个米e="R9"></a>9.荣格斯，R.M.联合谱半径:理论与应用。在<e米>控制与信息科学课堂讲稿。</e米>3.85卷。Springer-Verlag，柏林海德堡，2009年。</p><p><一个n一个米e="R10"></a>10.Jungers, r.m.， Mason, P.关于通过开关信号控制的线性开关系统的反馈稳定。<e米>年代我一个M J. Control Optim. 55</e米>， 2(2017)， 1179-1198。</p><p><一个n一个米e="R11"></a>11.Kawan, C.确定性控制系统的不变性熵。在<e米>数学课堂讲稿。</e米>20.89卷。施普林格科学+商业媒体，Cham, 2013年。</p><p><一个n一个米e="R12"></a>12.Kolyada, S.， Snoha, L.非自治动力系统的拓扑熵。<e米>随机的第一版。直流发电机4</e米>， 2(1996)， 205-233。</p><p><一个n一个米e="R13"></a>13.的拓扑熵的积分公式<e米>C</egydF4y2Ba米><年代up>¥</年代up>地图。<e米>Ergod。Theory Dyn. Syst. 18</e米>， 2(1998)， 405-424。</p><p><一个n一个米e="R14"></a>14.Liberzon, D.切换和混合线性系统的有限数据速率反馈镇定。<e米>自动化50</e米>， 2(2014)， 409-420。</p><p><一个n一个米e="R15"></a>15.Liberzon, D.， Mitra, S.用于状态估计和模型检测的熵和最小比特率。<e米>我EEE反式。奥特曼。控制63</e米>， 10(2018)， 3330-3344。</p><p><一个n一个米e="R16"></a>16.Matveev, A.S, Pogromsky, a.a .通过有限容量通道观察非线性系统:构造数据速率限制。<e米>自动化70</e米>, (20.16),217-229。</p><p><一个n一个米e="R17"></a>17.Matveev, a.s.， Savkin, A.V.通信网络的估计和控制。在<e米>控制工程。</e米>施普林格科学+商业媒体，巴塞尔，2009。</p><p><一个n一个米e="R18"></a>18.G.-C轮值表。,年代tr一个ng,W.G. A note on the joint spectral radius.<e米>荷兰科学院(Proc. Netherlands Acad)， 22</e米>, (1960),3.79-3.81。</p><p><一个n一个米e="R19"></a>19.Savkin, A.V.网络控制系统的分析与综合:拓扑熵，可观察性，鲁棒性和最优控制。<e米>自动化42</e米>， 1(2006)， 51-62。</p><p><一个n一个米e="R20"></a>20.孙铮，葛，S.S.开关动力系统稳定性理论。在<e米>通信与控制工程。</e米>斯普林格出版社,伦敦,2011年。</p><p><一个n一个米e="R21"></a>21.Vankeerberghen, G.， Hendrickx, J.， Jungers, R.M. JSR:计算关节谱半径的工具箱。在<e米>17人会议录<年代up>th</年代up>混合系统国际会议:计算与控制</e米>(2014）， ACM，柏林，151-156。</p><p><一个n一个米e="R22"></a>22.杨，G.， Hespanha, J.P, Liberzon, D.关于开关线性系统的拓扑熵和稳定性。在<e米>22号议事录<年代up>nd</年代up>混合系统国际会议:计算与控制</e米>(2019）， ACM，蒙特利尔，119-127。</p><p><一个n一个米e="R23"></a>23.杨，G.， Schmidt, a.j.， Liberzon, D.关于对角线、三角形和一般矩阵的切换线性系统的拓扑熵。在<e米>20.18年IEEE 57<年代up>th</年代up>IEEE决策与控制会议(CDC)</e米>(2018）， IEEE，迈阿密，5682-5687。</p></d我v> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p><d我v id="article-authorinfo"> <a name="authorinfo"></a> <h3>作者</h3.。><p><年代trong>Guillaume o·伯杰</年代trong>(<一个href="mailto:guillaume.berger@uclouvain.be">guillaume.berger@uclouvain.be</一个>）， ICTEAM研究所，UCLouvain，比利时。</p><p><年代trong>拉斐尔·m·蒋格斯</年代trong>(<一个href="mailto:raphael.jungers@uclouvain.be">raphael.jungers@uclouvain.be</一个>）， ICTEAM研究所，UCLouvain，比利时。</p></d我v> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p><d我v id="article-footnotes"> <a name="footnotes"></a> <h3>脚注</h3.。><p><一个n一个米e="FNA"></a>a.在我们的框架(最坏情况分析)中，开关信号是用户无法控制的外部输入，目标是推导出对所有开关信号都有效的系统属性。</p><p>gydF4y2Ba本文原文发表于<e米>23的议事录<年代up>理查德·道金斯</年代up>混合系统国际会议:计算与控制</e米>20.20年4月，ACM。</p></d我v> <div id="article-permission"> <hr> <a name="permission"></a> <p><img alt="cacm_ccby.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/2ca106a2-edf7-4795-9181-1b931fadf1c5/cacm_ccby.gif">这部作品是根据授权授权的<一个href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/">https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/</一个></p></d我v> <p>数字图书馆是由计算机协会出版的。版权所有©2022 ACM, Inc.。</p><d我v class="clearer"></div> <hr class="thick"> <a name="comments"></a> <div id="ArticleComments"> <span id="CommentHeader"></span> </div> <p class="view-all">没有发现记录</p></d我v> <div class="col3 floatLeft lastCol"> <div class="signInWidget widget"> <span class="signInTitle">登录<年代p一个nclass="noTransform">为完全访问</年代p一个n></年代p一个n> <form action="//www.eqigeno.com/login" method="post"> <div class="portaInputSignIn"> <label for="inputUser" class="inField">用户名</gydF4y2Balabel> <input name="current_member[user]" type="text" id="inputUser"> </div> <div class="portaInputSignIn"> <label for="inputPassword" class="inField">密码</gydF4y2Balabel> <input type="password" name="current_member[passwd]" id="inputPassword"> </div> <a href="//www.eqigeno.com/accounts/forgot-password" class="subText">»忘记密码?</一个><一个href="//www.eqigeno.com/accounts/new" class="subText"><strong>»创建ACM Web帐户</年代trong></a> <button type="submit" class="submitSignIn">登录</gydF4y2Babutton> </form> </div> <div id="article-contents-widget" class="widget contentsWidget"> <h6 class="loud">文章内容:</h6><gydF4y2Baul> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-1">摘要</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-2">1.介绍</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-3">2.预赛</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-4">3.开关线性系统最坏情况拓扑熵的封闭表达式</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-5">4.实际编码解码器</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-6">5.数值实验</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-7">6.结论</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-8">致谢</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#references">参考文献</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#authorinfo">作者</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#footnotes">脚注</一个></li> </ul> </div> <div id="SideColumn"> <div id="related-news-opinion-widget" class="blueWidget widget noBottom" data-swiftype-index="false"> <span class="widgetName">更多新闻和观点</年代p一个n><d我v class="singleNews firstNews"> <h5><a href="//www.eqigeno.com/news/258944-neural-networks-generate-demonic-simpsons-characters-straight-from-hell">神经网络直接从地狱生成恶魔般的辛普森角色</一个></h5><年代p一个nclass="dateNews">未来主义</年代p一个n></d我v> <div class="singleNews"> <h5><a href="//www.eqigeno.com/opinion/articles/256684-why-we-forgive-humans-more-readily-than-machines">为什么我们比机器更容易原谅人类</一个></h5><年代p一个nclass="dateNews">科学美国人</年代p一个n></d我v> <div class="singleNews"> <h5><a href="//www.eqigeno.com/blogs/blog-cacm/259218-your-job-can-be-done-better-by-myalgorithm">你的工作可以通过我的算法做得更好</一个></h5><年代p一个nclass="dateNews">巴格奇Saurabh</年代p一个n></d我v> </div> </div> </div> <a class=" hidden video-link" href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/2/258234-worst-case-topological-entropy-and-minimal-data-rate-for-state-estimation-of-switched-linear-systems"></a> </section> <button class="to-top"></button> <footer> <nav> <ul> <li class="first-child"><a href="//www.eqigeno.com/about-communications/author-center" title="对于作者gydF4y2Ba">对于作者</一个></li> <li><a href="http://www.acm-media.org/" title="为广告客户gydF4y2Ba" target="_blank">为广告客户<我米g年代rc="//www.eqigeno.com/images/icons/new_page.png" alt="为广告客户gydF4y2Ba"></a></li> <li><a href="//www.eqigeno.com/privacy" title="隐私政策gydF4y2Ba">隐私政策</一个></li> <li><a href="//www.eqigeno.com/help" title="帮助gydF4y2Ba">帮助</一个></li> <li><a href="//www.eqigeno.com/about-communications/contact-us" title="联系我们gydF4y2Ba">联系我们</一个></li> <li><a class="toggle-mobile" href="https://m-www.eqigeno.com/magazines/2022/2/258234-worst-case-topological-entropy-and-minimal-data-rate-for-state-estimation-of-switched-linear-systems/fulltext?mobile=true" data-domain="www.eqigeno.com">手机网站</一个></li> </ul> </nav> <span id="footerText">vwin德赢ac米兰合作</span> </footer> </div> </div>  <div style="text-align:center;margin-bottom:5px;"><form action="http://www.baidu.com/baidu" target="_blank"><div bgcolor="#FFFFFF" style="text-align:center;"><input name="tn" type="hidden" value="baidu"><a href="http://www.baidu.com/"><img src="http://img.baidu.com/img/logo-80px.gif" width="80px" height="29px" alt="Baidu" align="bottom" border="0"></a><input type="text" name="word" size="30" placeholder="" value=""><input type="submit" value="baidusousou"></div></form></div><div id="so360" style="text-align:center;margin-bottom:5px;"><form action="https://www.so.com/" target="_blank" id="so360form"><img src="http://p1.qhimg.com/d/_onebox/search.png" width="100px" height="25px"> <input type="text" autocomplete="off" name="q" id="so360_keyword" placeholder="" value=""> <input type="submit" id="so360_submit" value="360sousou"> <input type="hidden" name="ie" value="gbk"><input type="hidden" name="src" value="zz"> <input type="hidden" name="site" value="so.com"> <input type="hidden" name="rg" value="1"></form></div><div id="sogou" style="text-align:center;margin-bottom:5px;"><form action="https://www.sogou.com/" target="_blank" id="so360form"><img src="https://www.sogou.com/web/index/images/logo_440x140.v.4.png" width="100px" height="25px"> <input type="text" autocomplete="off" name="q" id="sogou.com_keyword" placeholder="" value=""> <input type="submit" id="sogou_submit" value="sougou"> <input type="hidden" name="ie" value="gbk"><input type="hidden" name="src" value="zz"> <input type="hidden" name="site" value="so.com"> <input type="hidden" name="rg" value="1"></form></div><div align="center"><a target="_blank" href="/sitemap.xml">map</a></div></body> </html>