使用维函数合成从传感器数据推导方程| 2021年7月</t我tle> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/all.css" rel="stylesheet"> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/jplayer.pink.flag.css" rel="stylesheet"> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/sections/videos.css" rel="stylesheet"> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/tipsy.css" rel="stylesheet"> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/colorbox.css" rel="stylesheet"> <style> html{overflow: auto !important;} </style> <style> iframe body { overflow: hidden; } iframe { border: none; margin: 0; } .fav_hacker_news { background:url('https://img.icons8.com/color/48/000000/hacker-news.png') no-repeat center #FFF; background-size: 21.5px; } .fav_hacker_news:hover { background:url('https://img.icons8.com/color/48/000000/hacker-news.png') no-repeat center #e6e9ea; background-size: 21.5px; } .fav_bar a.fav_reddit { background-size: 22px; background:url('//www.eqigeno.com/images/icons/reddit.gif') no-repeat center #FFF; } .fav_bar a.fav_reddit:hover { background-color: #e6e9ea; } .fav_bar a.fav_facebook { background-size: 22px; background:url('//www.eqigeno.com/images/icons/facebook.gif') no-repeat center #FFF; } .fav_bar a.fav_facebook:hover { background-color: #e6e9ea; background:url('//www.eqigeno.com/images/icons/facebook.gif') no-repeat center #e6e9ea; } body { margin: 0 } #acmWidget.resourcesWidget .dateNews { margin-left: 10px; } </style> </head> <body id="body-main" itemscope itemtype="http://schema.org/Article"> <div id="domain-info" data-domain="www.eqigeno.com"></div> <div class="JumpLink" id="PageTop"></div> <div id="container"> <div id="layout"> <header class="topHeader"> <a href="//www.eqigeno.com/" title="ACMgydF4y2Ba" id="topLogo">ACM</一个> <div id="instName"> <img src="//www.eqigeno.com/images/icons/acm_header.png" height="40" width="40" class="logo-mini" alt="acm-headergydF4y2Ba"> </div> <a href="//www.eqigeno.com/login" title="登录gydF4y2Ba" id="topSignIn">登录</一个> <div id="topForm"> <form action="/search" method="get"> <div class="portaInput"> <label for="searchInput" id="labelSearchInput" class="inField"></label> <input type="text" id="searchInput" class="st-default-search-input" placeholder="Search" name="q" aria-label="Search"> </div> <button name="search submit" type="submit" id="searchSubmit">去</gydF4y2Babutton> </form> </div> <div id="topBar"> <ul> <li><a href="https://www.acm.org/" title="ACM.orggydF4y2Ba">ACM.org</一个></li> <li><a href="https://campus.acm.org/public/qj/brandingqj/cacm.cfm" target="_blank" title="加入ACMgydF4y2Ba">加入ACM</一个></li> <li><a href="//www.eqigeno.com/about-communications" title="vwin德赢AC米兰官网网址">vwin德赢AC米兰官网网址</a></li> <li><a href="//www.eqigeno.com/acm-resources" title="vwin德赢网页版">vwin德赢网页版</a></li> <li class="last-child"><a href="//www.eqigeno.com/alerts-and-feeds" title="警报&提要gydF4y2Ba">警报&提要</一个></li> <li class="last-child"><a href="https://www.facebook.com/Communications-of-the-ACM-521319564596131/" style="margin: 0;padding: 0;margin-right: 1px;margin-top: -2px;"><img src="//www.eqigeno.com/images/icons/facebook.png" alt="脸谱网gydF4y2Ba" style="height: 18px;width: 18px;"></a><a href="https://twitter.com/cacmmag" style="margin: 0;padding: 0;margin-top: -1px;margin-right: 4px;"><img src="//www.eqigeno.com/images/icons/twitter.png" alt="推特gydF4y2Ba" style="width: 16px;height: 16px;"></a><a href="//www.eqigeno.com/alerts-and-feeds/rss-feeds" style="margin: 0;padding: 0;"><img src="//www.eqigeno.com/images/icons/rss.png" alt="rssgydF4y2Ba" style="width: 14px;height: 14px;"></a></li> </ul> </div> <hgroup> <h1><a href="//www.eqigeno.com/" title="ACM通信gydF4y2Ba">ACM通信</一个></h1> </hgroup> <nav> <ul> <li class="first-child"><a href="//www.eqigeno.com/" class="menuText itemHome">首页</一个></li> <li> <div class="portaDropdown"> <a class="withMenu menuText itemCurrent" href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/7">vwin德赢AC米兰官网网址</a> <div class="menuLinks currenIssueDropdown"> <a class="menuCover" href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/7"><img src="//www.eqigeno.com/system/assets/0004/3300/July2022-Cover.1000x1338.large.jpg?1655386841&1655386840" width="145" height="192" alt="最新一期gydF4y2Ba"></a> <span class="dropDownIssueTitle">vwin德赢AC米兰官网网址本期:2022年7月</年代pan> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/7/262079-toward-verified-artificial-intelligence">走向可验证的人工智能</一个> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/7/262082-expressive-querying-for-accelerating-visual-analytics">用于加速视觉分析的表达查询</一个> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/7/262084-cacm-community"><i>CACM</我>社区</一个> <a class="lastLink" href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/7">查看目录</一个> </div> </div></li> <li> <div class="portaDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/news" class="withMenu menuText itemNews">新闻</一个> <div class="menuLinks newsDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/news" class="lastLink">最新消息</一个> <a href="//www.eqigeno.com/news/archive" class="lastLink">新闻存档</一个> </div> </div></li> <li> <div class="portaDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/blogs/about-the-blogs" class="withMenu menuText itemBlogs">博客</一个> <div class="menuLinks blogsDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/blogs/about-the-blogs">关于博客</一个> <a href="//www.eqigeno.com/blogs/blog-cacm">BLOG@CACM</一个> <a href="//www.eqigeno.com/blogs/blogroll">友情链接</一个> <a href="//www.eqigeno.com/blogs/archive" class="lastLink">博客档案</一个> </div> </div></li> <li> <div class="portaDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/opinion" class="withMenu menuText itemOpinion">的意见</一个> <div class="menuLinks opinionDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/opinion/articles">文章</一个> <a href="//www.eqigeno.com/opinion/interviews">面试</一个> <a href="//www.eqigeno.com/opinion/archive" class="lastLink">意见归档</一个> </div> </div></li> <li> <div class="portaDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/research" class="withMenu menuText itemResearch">研究</一个> <div class="menuLinks researchDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/research">最新的研究</一个> <a href="//www.eqigeno.com/research/archive" class="lastLink">研究档案</一个> </div> </div></li> <li> <div class="portaDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/practice" class="withMenu menuText itemPractice">实践</一个> <div class="menuLinks practiceDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/practice">最新的实践</一个> <a href="//www.eqigeno.com/practice/archive" class="lastLink">实践存档</一个> </div> </div></li> <li> <div id="careersNav" class="portaDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/careers" class="withMenu menuText itemOpinion">职业生涯</一个> <div class="menuLinks opinionDropdown"> <ul> <li><a href="http://jobs.acm.org/jobs/search/results?rows=15&radius=0&view=List_Detail&sort=score+desc" target="_blank">找工作</一个></li> <li><a href="http://jobs.acm.org/jobs/resumes/create" target="_blank">发布一个简历</一个></li> <li><a href="http://jobs.acm.org/jobs/products" target="_blank">发布一个职位</一个></li> <li><a href="https://www.acm.org/publications/advertising" target="_blank">广告与我们</一个></li> <li class="lastLink"><a href="mailto:careers@acm.org">联系我们</一个></li> </ul> </div> </div></li> <li> <div class="portaDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/magazines" class="withMenu menuText itemPrevious on">存档</一个> <div class="menuLinks previousDropdown"> <span class="previousIssueTitle">杂志档案库收录了刊登在<我>ACM通信</我>在过去的50年里。</年代pan> <div class="issue"> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/7">2022年7月(第65卷第7期)</一个> </div> <div class="issue"> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/6">2022年6月(第65卷第6期)</一个> </div> <div class="issue"> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/5">2022年5月(第65卷第5期)</一个> </div> <a href="//www.eqigeno.com/magazines" class="lastLink">查看更多问题</一个> </div> </div></li> <li><a href="//www.eqigeno.com/videos" class="menuText itemVideos">视频</一个></li> </ul> </nav> </header> <section> <div class="breadcrum"> <a href="//www.eqigeno.com/">首页</一个> <span>/</年代pan> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/decade">杂志存档</一个> <span>/</年代pan> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/2021/7">2021年7月(第64卷第7期)</一个> <span>/</年代pan> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/2021/7/253471-deriving-equations-from-sensor-data-using-dimensional-function-synthesis">从传感器数据中求多维度…</一个> <span>/</年代pan>全文</gydF4y2Badiv> <div class="col0 floatLeft firstCol"> <span class="label">研究突出了</年代pan> <h2>用维函数综合法从传感器数据推导方程</h2gydF4y2Ba> <h6 class="subheader"></h6> </div> <hr class="dotted"> <div id="articleFullText" class="col1 floatLeft firstCol"> <span class="byline">作者:Vasileios toutsouras, Sam Willis, Phillip Stanley-Marbell<gydF4y2Babr>ACM通讯，2021年7月，第64卷第7期，第91-99页<gydF4y2Babr>10.1145 / 3465216<gydF4y2Babr><a href="#comments">评论</一个></span> <div class="fav_bar"> <span>认为:</年代pan> <a href="#" onclick="javascript:window.print();" class="fav_print" title="打印gydF4y2Ba">打印</一个> <a href="//www.eqigeno.com/about-communications/mobile-apps/" class="mobile-apps" title="手机应用程序gydF4y2Ba">手机应用程序</一个> <a href="https://dl.acm.org/citation.cfm?id=3472147.3465216&coll=portal&dl=ACM" class="fav_acm_digital" target="_blank" title="ACM数字图书馆gydF4y2Ba">ACM数字图书馆</一个> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/2021/7/253471-deriving-equations-from-sensor-data-using-dimensional-function-synthesis/pdf" class="fav_pdf" rel="nofollow" target="_blank" title="全文(PDF)gydF4y2Ba">全文(PDF)</一个> <a href="https://dl.acm.org/ft_gateway.cfm?id=3465216&ftid=2171150&dwn=1" class="fav_de" target="_blank" title="数码版gydF4y2Ba">数码版</一个> <span>分享:</年代pan> <a href="javascript:void(0);" class="fav_email" title="通过电子邮件发送gydF4y2Ba" id="sendByEmail">通过电子邮件发送</一个> <a href="javascript:void(0);" class="fav_reddit" onclick="addthis_sendto('reddit');" title="在reddit分享gydF4y2Ba">在reddit分享</一个> <a href="javascript:void(0);" class="fav_su" onclick="addthis_sendto('stumbleupon');" title="在StumbleUpon分享gydF4y2Ba">在StumbleUpon分享</一个> <a href="https://news.ycombinator.com/" class="fav_hacker_news" title="分享到黑客新闻gydF4y2Ba">分享到黑客新闻</一个> <a href="javascript:void(0);" class="fav_twitter" onclick="addthis_sendto('twitter');" title="在推特上分享gydF4y2Ba">在推特上分享</一个> <a href="javascript:void(0);" class="fav_facebook" onclick="addthis_sendto('facebook');" title="在Facebook上分享gydF4y2Ba">在Facebook上分享</一个> <div class="addthis_toolbox "> <a href="https://www.addthis.com/bookmark.php?v=250&pubid=xa-4dcbeff2515fc93c" class="addthis_button_compact fav_more no_border">分享</一个> </div> </div> <div class="clearer"></div> <div class="imageWithCaptionLeft" id="asset-40236"> <figure> <img alt="多个信号,说明gydF4y2Ba" src="//www.eqigeno.com/system/assets/0004/0236/061821_Getty_Deriving-Equations.large.jpg?1623867367&1623867367" title="multiple signals, illustration"> <figcaption> <p class="credit">来源:盖蒂图片社</gydF4y2Bap> </figcaption> </figure> </div> <p><a name="body-1"></a></p> <p>我们提出了一种新的方法来推导函数模型之间的关系，多个信号在一个物理系统。方法，我们称之为<gydF4y2Baem>空间功能合成</gydF4y2Baem>，适用于信号的尺寸(如长度、质量等)已知的数据流。该方法包括两个阶段:编译时合成阶段和使用传感器数据进行后续校准。我们实现了维函数合成，并使用该实现有效地展示了对两个物理系统的多模态传感器数据的总结，使用了90个实验室实验和10,000个合成理想测量。结果表明，我们的技术可以在平均不到300毫秒的时间内在我们评估的所有物理系统中生成模型。与在同一计算平台上训练精度相当的神经网络的平均16秒相比，这是一个显著的改进。当使用传感器数据校准时，我们的模型在我们评估的所有情况下的推断精度都优于传统的回归和神经网络模型。此外，我们的模型在训练延迟(高达1096X改进)和推理所需的算术操作(高达34X改进)方面表现得更好。这些重大的成果很大程度上是利用迄今为止被忽视的信号物理信息的结果。</gydF4y2Bap> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p> <p><a name="body-2"></a></p> <h3>1.简介</h3.．gydF4y2Ba> <p>装有传感器的物理系统可以产生大量数据。这些数据有助于理解产生这些数据的系统以前的行为(例如，监测飞机部件的性能)，也有助于预测这些系统未来的行为(例如，预测机械部件的故障)。与语音或文本等数据源不同，来自物理现象传感器的数据必须遵守物理定律。然而，现有的从传感器数据构建预测模型的方法不能充分利用传感器数据物理解释的先验知识。在这项工作中，我们利用传感器信号的物理维度信息，从传感器数据合成紧凑的预测模型。按照物理学中的惯例，我们使用这个术语<gydF4y2Baem>维</gydF4y2Baem>我们用这个术语来指代长度或时间之类的量<gydF4y2Baem>单位</gydF4y2Baem>指在一个标准化系统中量化给定维度的值，如厘米或英里表示长度，帕斯卡或毫米汞柱表示压力。从这些数据流中导出模型的技术水平是应用某种形式的机器学习。<年代up><a href="#R11">11</一个>，<一个href="#R19">19</一个></sup>盲目地将机器学习应用于来自物理系统的数据，然而忽略了信号的物理含义的重要先验知识。</gydF4y2Bap> <p><img alt="＊gydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>1.1.当代的方法忽略了物理</年代trong></p> <p>尽管它在编程语言中用于一些任务，比如用度量单位扩展类型系统，<年代up><a href="#R1">1</一个>，<一个href="#R2">2</一个>，<一个href="#R3">3.</一个>，<一个href="#R5">5</一个>，<一个href="#R8">8</一个>，<一个href="#R12">12</一个>，<一个href="#R10">10</一个>，<一个href="#R14">14</一个>，<一个href="#R17">17</一个>，<一个href="#R23">23</一个></sup>以维度(如时间、温度等)为形式的物理信息在根据数据建立物理系统模型方面的应用有限。物理约束可以看作是贝叶斯先验的一种形式。<年代up><a href="#R4">4</一个></sup>卡尔曼滤波器包含了系统的物理约束信息，但主要使用这些信息来指导它们的状态更新方程。目前，还没有一种原则性的技术能够利用传感器维度一致性的要求来学习更紧凑的模型。</gydF4y2Bap> <p><img alt="＊gydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>1.2.空间功能合成</年代trong></p> <p>维函数综合是一种新的方法，可以有效地从物理系统的多个数据流中提取出具有已知物理维数的函数。该方法背后的深刻见解是，任何与物理量有关的方程必须遵循的原则<gydF4y2Baem>维的同质性</gydF4y2Baem>从量纲分析<年代up><a href="#R6">6</一个></sup>等式的两边，如加法或减法，必须有相同的物理尺寸。</gydF4y2Bap> <p>在第一个离线分析阶段，维函数合成形成物理参数的单项，当组合成一个单项时，其维会抵消。然后，在第二个运行阶段，利用传感器获得的物理参数数据，该方法校准由这些单体形成的维数似是而非的方程，从而获得一组预测模型。</gydF4y2Bap> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/8cbb0b09-939a-4bf1-b004-6f317699648b/f1.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=657,height=297'); return false;">图1</一个>显示该过程的示意图。维度函数合成的输入是与所研究系统相关的已知维数的信号列表，以及与这些信号实例对应的一组数据值。结果是一个与信号相关的模型，并预测预期的物理系统输出。我们开发了维函数综合的方法，目的是创建能够适应低功耗嵌入式系统的内存、计算和能量约束的推理模型。该方法也适用于不受计算资源或能量限制，但需要在大参数空间上定义简单模型的计算系统。</gydF4y2Bap> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/8cbb0b09-939a-4bf1-b004-6f317699648b/f1.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=657,height=297'); return false;"><img alt="f1.jpggydF4y2Ba" height="188" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/8cbb0b09-939a-4bf1-b004-6f317699648b/f1.jpg" width="415"></a><br><strong>图1。维函数合成利用物理维数信息来生成候选方程族。然后，它使用传感器测量来校准候选方程集。</年代trong></p> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p> <p><a name="body-3"></a></p> <h3>2.数学基础</h3.．gydF4y2Ba> <p>量纲分析常被引入工程课程，作为一种检验物理量计算正确性的简单方法。它在工程、流体力学和电动力学中经常用于涡轮机设计中的涡轮叶片偏转等情况。<年代up><a href="#R20">20.</一个></sup>计算系统和计算机科学的大多数研究人员所熟悉的量纲分析方法包括取一些物理量(例如，加速度)，并将其表示为基本维度，如长度(<gydF4y2Baem>l</gydF4y2Baem>)及时间(<gydF4y2Baem>T</gydF4y2Baem>)以获取其尺寸(<gydF4y2Baem>LT</gydF4y2Baem><sup>－2</年代up>加速度)。然而，量纲分析有一个完善的数学框架，它结合了物理中的一些基本原理和基于线性代数和群论的解析公式。<年代up><a href="#R6">6</一个>，<一个href="#R9">9</一个>，<一个href="#R16">16</一个></sup>第2节的其余部分将简要概述这种量纲分析的数学形式化。</gydF4y2Bap> <p><img alt="＊gydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>2.1.物理方程和无量纲乘积中的参数</年代trong></p> <p>让<gydF4y2Baem>我</gydF4y2Baem>是物理方程中一组符号的索引，让<gydF4y2Baem>问<年代ub>我</年代ub></em>成为描述物理系统的方程中的符号之一。通常，这些符号将对应于某些物理模型的参数，因此我们将使用这个术语<gydF4y2Baem>参数</gydF4y2Baem>而且<gydF4y2Baem>象征</gydF4y2Baem>互换。让<gydF4y2Baem>D</gydF4y2Baem>(·)是从符号到基本维数的某个乘积的函数。对于任何描述物理系统的方程，我们引入集合S<年代ub>符号</年代ub>,在那里</gydF4y2Bap> <p><img alt="eq01.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/806db6a3-984b-48c2-92aa-ad86c8624032/eq01.gif"></p> <p>对于S<年代ub>符号</年代ub>每个成员在物理上是可信的<gydF4y2Baem>问<年代ub>我</年代ub></em>的年代<年代ub>符号</年代ub>可以用一套基本的来重写吗<gydF4y2Baem>维</gydF4y2Baem>(例如，质量，长度，时间)或其他<gydF4y2Baem>无量纲。</gydF4y2Baem>对于例子方程<gydF4y2Baem>F</gydF4y2Baem>＝<gydF4y2Baem>米</gydF4y2Baem>·<gydF4y2Baem>一个</gydF4y2Baem>，与力有关<gydF4y2Baem>F</gydF4y2Baem>应用于质量<gydF4y2Baem>米</gydF4y2Baem>它产生的加速度，<gydF4y2Baem>一个</gydF4y2Baem>我们有S<年代ub>符号</年代ub>= {<gydF4y2Baem>F</gydF4y2Baem>，<gydF4y2Baem>米</gydF4y2Baem>，<gydF4y2Baem>一个</gydF4y2Baem>}，<gydF4y2Baem>问<年代ub>我</年代ub></em>＝<gydF4y2Baem>F</gydF4y2Baem>，<gydF4y2Baem>问</gydF4y2Baem><sub>2</年代ub>＝<gydF4y2Baem>米</gydF4y2Baem>,<gydF4y2Baem>问</gydF4y2Baem><sub>3.</年代ub>＝<gydF4y2Baem>一个。</gydF4y2Baem>S中元素的维数<年代ub>符号</年代ub>D (<gydF4y2Baem>问</gydF4y2Baem><sub>1</年代ub>) =<gydF4y2Baem>MLT</gydF4y2Baem><sup>－2</年代up>D (<gydF4y2Baem>问</gydF4y2Baem><sub>2</年代ub>) =<gydF4y2Baem>米</gydF4y2Baem>和D (<gydF4y2Baem>问</gydF4y2Baem><sub>3.</年代ub>) =<gydF4y2Baem>LT</gydF4y2Baem><sup>－2</年代up>．<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/8fe3a5d2-c2f9-49eb-ba8a-fc4a64bc4eaf/t1.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=761,height=253'); return false;">表1</一个>展示了来自物理系统的传感器数据的参数及其维度的额外示例，这些数据可以用传感器来监测它们的行为。例如，健身追踪器的高度表子系统使用大气压力的变化来估计高度的变化，从而估计爬了多少层楼梯。</gydF4y2Bap> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/8fe3a5d2-c2f9-49eb-ba8a-fc4a64bc4eaf/t1.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=761,height=253'); return false;"><img alt="t1.jpggydF4y2Ba" height="138" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/8fe3a5d2-c2f9-49eb-ba8a-fc4a64bc4eaf/t1.jpg" width="415"></a><br><strong>表1。物理系统及其S的例子<年代ub>符号</年代ub></strong></p> <p>量纲分析的数学公式的关键思想是对于集合S<年代ub>符号</年代ub>例如在上面的例子中，我们经常可以安排成员<gydF4y2Baem>问<年代ub>我</年代ub></em>的年代<年代ub>符号</年代ub>在产品组中，产品中符号的维度相互抵消，结果每个单体都是无量纲的。<年代up><a href="#R6">6</一个>，<一个href="#R7">7</一个></sup></p> <p><strong>为什么寻找无量纲产品是有用的:</年代trong>给定一组参数S<年代ub>符号</年代ub>对于一个物理系统，每一个无量纲的乘积都可以由S的子集形成<年代ub>符号</年代ub>直接给出了这些参数之间的量纲有效方程:我们可以将无量纲的乘积等同于任何无量纲的量，从而得到一个量纲正确的方程;如果我们重新排列这个方程把其中一个参数变成方程的唯一项，我们就有了一个关于这个参数的量纲有效的方程关于这个无量纲乘积中其他参数的方程。</gydF4y2Bap> <p>定义1。<gydF4y2Baem>设i是集合上的一个指标</gydF4y2Baem>年代<年代ub>符号</年代ub><em>在描述一个物理系统的符号中，设n为的基数</gydF4y2Baem>年代<年代ub>符号</年代ub>，<gydF4y2Baem>设m是这样的指标</gydF4y2Baem>≤<gydF4y2Baem>n, k<年代ub>我</年代ub>是从有理数集合中得出的值</gydF4y2Baem>Q。<gydF4y2Baem>一个无量纲的产品</gydF4y2Baem>Π<gydF4y2Baem>参数的问<年代ub>我</年代ub></em>∈年代<年代ub>符号</年代ub><em>单个参数的幂次是这样的吗</gydF4y2Baem>D(Π)= 1,<gydF4y2Baem>这是</gydF4y2Baem>，</gydF4y2Bap> <p><img alt="eq02.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/021d9e06-2613-44ae-8f4d-0d07e178fcc6/eq02.gif"></p> <p>对于由一组参数S定义的物理系统<年代ub>符号</年代ub>，我们可以根据定义1定义一个或多个无量纲产品组。由于式(2)的形式，这组无量纲乘积常被称为<gydF4y2Baem>Π</gydF4y2Baem><em>组。</gydF4y2Baem><sup><a href="#R6">6</一个>，<一个href="#R7">7</一个></sup></p> <p>例子:<我米g一个lt＝"cacm6407_c.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/06a8c56c-9e5e-49bb-964f-488393cc2f01/cacm6407_c.gif">无量纲的乘积</gydF4y2Bap> <p><img alt="ueq01.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/5229fd3f-1b18-4822-accc-3681f5908dfa/ueq01.gif"></p> <p>我们可以把无量纲的乘积等同于一个常数来得到</gydF4y2Bap> <p><img alt="ueq02.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/c8c90572-1e1f-43c9-84bc-27dc001c1ce4/ueq02.gif"></p> <p>然后我们可以得到任意的表达式<gydF4y2Baem>问<年代ub>我</年代ub></em>∈年代<年代ub>符号</年代ub>．例如,对于<gydF4y2Baem>问</gydF4y2Baem><sub>1</年代ub>，</gydF4y2Bap> <p><img alt="ueq03.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/75c391ab-d4c4-4b20-9c5e-d6eea898415d/ueq03.gif"></p> <p>这个简单的想法可以推广到一种方法来获得一个与所有参数相关的函数，<gydF4y2Baem>问<年代ub>我</年代ub></em>∈年代<年代ub>符号</年代ub>，与一个系统相关，我们可以从S中形成一个或多个无量纲的乘积<年代ub>符号</年代ub>．</gydF4y2Bap> <p><img alt="＊gydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>2.2.无量纲乘积组和白金汉Π定理</年代trong></p> <p>量纲分析在当代许多应用中所利用的主要洞察力<年代up><a href="#R18">18</一个>，<一个href="#R21">21</一个></sup>对于任何一个物理系统，它是由一组物理参数S表示的吗<年代ub>符号</年代ub>，通常可以用较少的参数对系统进行重新参数化。这种基本的观察经常用于机械系统的工程和设计中，以减少实验中所需的参数数量。这一观察结果背后的原理就是众所周知的白金汉Π定理<年代up><a href="#R6">6</一个></sup>：</gydF4y2Bap> <p>定理1。<gydF4y2Baem>设n为物理系统描述中的参数个数，即n</gydF4y2Baem>= |年代<年代ub>符号</年代ub>|。<gydF4y2Baem>设r是一些正交基的维数，它们足以表示中参数的维数</gydF4y2Baem>年代<年代ub>符号</年代ub>．<gydF4y2Baem>然后,n</gydF4y2Baem>- - - - - -<gydF4y2Baem>r无因次产品</gydF4y2Baem>Π<年代ub><em>我</gydF4y2Baem></sub><em>可由参数形成。</gydF4y2Baem></p> <p>的<gydF4y2Baem>n</gydF4y2Baem>- - - - - -<gydF4y2Baem>r</gydF4y2Baem>无因次产品Π<年代ub><em>我</gydF4y2Baem></sub>是某个函数Φ的根，即，</gydF4y2Bap> <p><img alt="eq03.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/677c3628-3222-419a-ba90-8fe6570b5e0d/eq03.gif"></p> <p>让Φ'是一个关于无量纲产品Π的函数<年代ub><em>我</gydF4y2Baem></sub>．它跟随着<gydF4y2Baem>我</gydF4y2Baem>th产品,Π<年代ub><em>我</gydF4y2Baem></sub>,,,</gydF4y2Bap> <p><img alt="eq04.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/e2552432-12e9-4740-b58c-21ee0fd23634/eq04.gif"></p> <p>当<gydF4y2Baem>n</gydF4y2Baem>- - - - - -<gydF4y2Baem>r</gydF4y2Baem>等于1，也就是说，当Π组中只有一个Π产品时，则</gydF4y2Bap> <p><img alt="eq05.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/18c00a5d-6f46-404b-9b78-0088a7b46329/eq05.gif"></p> <p>由此得出存在一个实值常数<gydF4y2Baem>C</gydF4y2Baem>这样</gydF4y2Bap> <p><img alt="eq06.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/3f765101-0778-4496-a929-f03037476140/eq06.gif"></p> <p><strong>有多种可能的Π组:</年代trong>对于相同的参数集S<年代ub>符号</年代ub>的基数<gydF4y2Baem>n</gydF4y2Baem>，有多种可能的无量纲产品组(即多种可能的Π组)。</gydF4y2Bap> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p> <p><a name="body-4"></a></p> <h3>3.空间功能合成</h3.．gydF4y2Ba> <p>从集合S<年代ub>符号</年代ub>定义一个物理系统的参数，我们可以构造一个系统的矩阵表示，其中的列是S中的参数<年代ub>符号</年代ub>，行是基本维度，如长度、质量或时间，由函数D返回(第2.1节)，矩阵中的元素是基本维度的指数。</gydF4y2Bap> <p>维度函数合成由一个编译时步骤组成，该步骤自动计算<gydF4y2Baem>所有可能的Π组中的所有有效Π产品。</gydF4y2Baem>然后，运行时步骤校准派生的Π产品之间的函数关系。与其他数据驱动技术类似，它使用传感器测量值作为输入，并生成一个模型，将这些测量值映射到预期输出。它的优点是使用维度信息来学习比其他方法更简单的模型。由于生成的模型体积小，校准所需的数据量小，维函数综合非常适合在资源有限的嵌入式系统上执行。<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/8d6b600d-e7e4-45c8-8c83-c4bac9345057/f2.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=1299,height=391'); return false;">图2</一个>使用本节介绍的术语和物理系统显示步骤，其中包括一个无动力飞行物体(滑翔机)为例。</gydF4y2Bap> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/8d6b600d-e7e4-45c8-8c83-c4bac9345057/f2.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=1299,height=391'); return false;"><img alt="f2.jpggydF4y2Ba" height="125" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/8d6b600d-e7e4-45c8-8c83-c4bac9345057/f2.jpg" width="415"></a><br><strong>图2。滑翔机:大量的滑翔机<gydF4y2Baem>米</gydF4y2Baem>以初速度发射<gydF4y2Baem>v</gydF4y2Baem><sub>0</年代ub>以速度在空间中移动<gydF4y2Baem>v</gydF4y2Baem>在重力加速度<gydF4y2Baem>g。</gydF4y2Baem>维函数综合可以推导出一组与其高度相关的候选方程<gydF4y2Baem>h</gydF4y2Baem>时间<gydF4y2Baem>t。</gydF4y2Baem>接下来，利用传感器数据，它可以校准这组候选方程，以获得高度作为时间和重力函数的模型。</年代trong></p> <p><img alt="＊gydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>3.1.推导无量纲产品组</年代trong></p> <p>设基本维数集合为S<年代ub>基础尺寸</年代ub>．我们不失一般性地假设S<年代ub>基础尺寸</年代ub>= {<gydF4y2Baem>I， Θ， t, l, m, j, n</gydF4y2Baem>}分别对应电流、热力学温度、时间、长度、质量、发光强度和物质量的基本S.I.尺寸。让<gydF4y2Baem>r</gydF4y2Baem>是S的势<年代ub>基础尺寸</年代ub>,让<gydF4y2Baem>j</gydF4y2Baem>作为索引<gydF4y2Baem>r</gydF4y2Baem>,让<gydF4y2Baem>问<年代ub>j</年代ub></em>∈年代<年代ub>基础尺寸</年代ub>是基本维度之一。如2.1节和式(1)所示，让<gydF4y2Baem>我</gydF4y2Baem>是物理系统的一组参数的索引，并让<gydF4y2Baem>问<年代ub>我</年代ub></em>成为这样一个参数。让<gydF4y2Baem>一个<年代ub>ij</年代ub></em>的一个基维的指数<gydF4y2Baem>问<年代ub>我</年代ub></em>由2.1节中的函数D返回。我们可以表示任意的维度<gydF4y2Baem>问<年代ub>我</年代ub></em>根据基本尺寸<gydF4y2Baem>问<年代ub>j</年代ub></em>：</gydF4y2Bap> <p><img alt="eq07.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/47465540-62fe-4beb-a024-6b5b0ce0c107/eq07.gif"></p> <p>我们可以表示系统<gydF4y2Baem>n</gydF4y2Baem>= |年代<年代ub>符号</年代ub>|方程，每个1 <<gydF4y2Baem>我</gydF4y2Baem>≤<gydF4y2Baem>n</gydF4y2Baem>式(7)的实例使用一个叫做的矩阵<gydF4y2Baem>维矩阵。</gydF4y2Baem><sup><a href="#R7">7</一个>，<一个href="#R9">9</一个>，<一个href="#R13">13</一个></sup></p> <p>定义2。<gydF4y2Baem>设n是其中参数的个数</gydF4y2Baem>年代<年代ub>符号</年代ub><em>设r是表示它们的基本维数。设i是一个物理系统的n个参数集合上的指标，设j是r上的指标，然后我们定义维度矩阵</gydF4y2Baem><strong>一个,</年代trong><em>作为</gydF4y2Baem></p> <p><img alt="eq08.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/4b7b1f9b-d2d7-494e-8a26-83816be5ee07/eq08.gif"></p> <p>定义1和公式(2)中的产品Π将是无量纲的(即，单项中的尺寸将相互抵消)当且仅当<年代trong>正义与发展党= 0</年代trong>，其中矩阵<gydF4y2Baem>k</gydF4y2Baem>包含生成无量纲产品所需的基本维度的指数。的解决方案<年代trong>正义与发展党= 0</年代trong>是零空间<gydF4y2Baem>N</gydF4y2Baem>（<年代trong>一个</年代trong>)．</gydF4y2Bap> <p><strong>解的物理限制</年代trong><em>N</gydF4y2Baem><strong>(一):</年代trong>因为我们的目标是找到物理上合理的、可高效计算的无量纲群，所以我们将零空间计算的解限制为的有理幂<gydF4y2Baem>一个<年代ub>霁</年代ub></em>而不是允许任意的实值指数。由于这一见解，我们计算<gydF4y2Baem>理性的零空间</gydF4y2Baem>的<年代trong>一个</年代trong>根据定义会得到什么<gydF4y2Baem>一个<年代ub>霁</年代ub></em>值是整数的比率。计算的有理零空间<年代trong>一个,</年代trong>我们首先使用高斯-乔丹消去法将矩阵简化为行简化阶梯形(RREF)，其中所有主元都等于1，每个主元下面都是0。<年代up><a href="#R22">22</一个></sup>一旦矩阵在RREF中，我们找到的特解<年代trong>正义与发展党= 0。</年代trong>如果对于一个特定的<年代trong>一个,</年代trong>那么我们就可以得出结论:没有非平凡的零空间可用，因此不可能从S中的参数集形成有理指数的无量纲乘积<年代ub>符号</年代ub>．</gydF4y2Bap> <p>维矩阵中线性无关列的个数<年代trong>一个</年代trong>等于rank(<年代trong>一个</年代trong>)．因此，要找到所有可能的解决方案<年代trong>正义与发展党= 0</年代trong>因此所有可能的无量纲生成物组，我们可以重新排列<gydF4y2Baem>n</gydF4y2Baem>列<年代trong>一个</年代trong>在<我米g一个lt＝"cacm6407_e.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/f99ece92-0636-49cb-921b-86c543e4557e/cacm6407_e.gif">产生不同零空间解的方法。<年代up><a href="#R6">6</一个>，<一个href="#R13">13</一个></sup>我们最后的无量纲积组集合是由计算零空间得到的所有唯一的无量纲积组的并集。</gydF4y2Bap> <p><img alt="＊gydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>3.2.校准:使用传感器数据将Π组转换为方程模型</年代trong></p> <p>通过分析将物理系统描述成集合S的形式而得到的无量纲群<年代ub>符号</年代ub>给出S中参数之间的比例关系<年代ub>符号</年代ub>．在一般情况下，多个无量纲产品不是常量，那么，从公式(4)，有一个函数Φ'，它将一个Π产品的值与其他产品的值联系起来。我们可以使用数据驱动的方法来找到Φ'的形式，我们称之为这一步<gydF4y2Baem>校准。</gydF4y2Baem>在这种情况下，我们应用生成的Π产品在校准时转换数据，并实现降维。这使得更简单的模型表现得更好，对于给定的预测性能，可以使用更少的数据学习更小的模型。</gydF4y2Bap> <p>当一个无量纲积组中只有一项时，由式(6)可知，我们可以将无量纲积等同于一个常数，得到无量纲积中各符号之间的比例关系。我们仍然需要确定比例常数的值，我们可以给出无量纲组中的一个或多个参数的值。当一个无量纲产品组包含一个以上的无量纲产品时，如果我们能够确定任何无量纲产品组中除一个产品外的所有产品对于感兴趣的参数的值范围都是有效的常数，那么我们仍然可以应用此方法。</gydF4y2Bap> <p>与任何模型构建方法一样，如果维度函数合成方法的输入不能完全描述被建模的问题，它将产生不完整的结果:一个不完整的S<年代ub>符号</年代ub>会导致无量纲产品的空集合。</gydF4y2Bap> <p><img alt="＊gydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>3.3.使用Newton语言实现</年代trong></p> <p>我们通过提取集合S来实现维函数合成<年代ub>符号</年代ub>从牛顿对物理系统描述的中间表示，<年代up><a href="#R15">15</一个></sup>一种用于描述物理系统的领域特定语言。我们仅仅用牛顿作为一种方便的方法来得到集合S<年代ub>符号</年代ub>从人类可读的描述。</gydF4y2Bap> <p><strong>摆的例子:</年代trong><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/be710fa2-9366-415c-a515-68da649ca4c3/f3.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=551,height=219'); return false;">图3</一个>A表示摆锤，摆锤上装有测量运动的传感器。通过测量，例如，用陀螺仪测量角的运动或者用加速度计测量加速度，我们可以测量振动的周期<gydF4y2Baem>t</gydF4y2Baem>通过计算来自传感器的时间序列数据的傅里叶变换。我们的目标是获得一个与之相关的模型<gydF4y2Baem>t</gydF4y2Baem>，竿的长度<gydF4y2Baem>l</gydF4y2Baem>，和组件<gydF4y2Baem>g</gydF4y2Baem>由于重力在摆的旋转平面上的加速度。来自这个例子的见解适用于许多传感器仪器机械系统，例如当系统部件的长度随温度膨胀或收缩时，振动周期可能会受到影响，或当影响系统的重力加速度分量由于系统倾斜角度而发生变化时。<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/be710fa2-9366-415c-a515-68da649ca4c3/f3.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=551,height=219'); return false;">图3 b</一个>展示了牛顿对理想摆的物理描述。维度函数综合，作为牛顿编译器的新后端实现，将此描述作为输入并执行以下步骤。</gydF4y2Bap> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/be710fa2-9366-415c-a515-68da649ca4c3/f3.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=551,height=219'); return false;"><img alt="f3.jpggydF4y2Ba" height="165" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/be710fa2-9366-415c-a515-68da649ca4c3/f3.jpg" width="415"></a><br><strong>图3。(a)有质量的单摆<gydF4y2Baem>米</gydF4y2Baem>，杆长<gydF4y2Baem>l</gydF4y2Baem>，摆动周期<gydF4y2Baem>t</gydF4y2Baem>，其运动平面上的重力加速度分量<gydF4y2Baem>g。</gydF4y2Baem>(b)牛顿对理想摆的物理描述。</年代trong></p> <p><strong>步骤1:构建维度矩阵。</年代trong>对于系统<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/be710fa2-9366-415c-a515-68da649ca4c3/f3.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=551,height=219'); return false;">图3一</一个>，参数集为S<年代ub>符号</年代ub>= {<gydF4y2Baem>L g m t</gydF4y2Baem>}。最后一行<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/e9ee2e0f-f530-494f-9903-65576ca1a679/t2.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=1550,height=740'); return false;">表2</一个>表示参数集S成员的维数<年代ub>符号</年代ub>以及按上述3.1节中所述方法计算的无量纲组。根据3.1节的公式，得到维度矩阵<年代trong>一个</年代trong>为摆锤的参数集S<年代ub>符号</年代ub>是</gydF4y2Bap> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/e9ee2e0f-f530-494f-9903-65576ca1a679/t2.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=1550,height=740'); return false;"><img alt="t2.jpggydF4y2Ba" height="198" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/e9ee2e0f-f530-494f-9903-65576ca1a679/t2.jpg" width="415"></a><br><strong>表2。物理系统描述示例(S<年代ub>符号</年代ub>)以及我们的技术为他们生成的无量纲群体。我们的实现为上一列所示的方程生成LATEX。</年代trong></p> <p><img alt="ueq04.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/fd1881bf-0537-4558-823c-0b4498d9f578/ueq04.gif"></p> <p><strong>步骤2:维度矩阵列排列和Π组计算。</年代trong>参数总数为<gydF4y2Baem>n</gydF4y2Baem>= |年代<年代ub>符号</年代ub>| = 4。从定义1(章节2.2)，摆系统有<gydF4y2Baem>n</gydF4y2Baem>= 4个物理量和<gydF4y2Baem>r</gydF4y2Baem>= 3个基本维度。因此,<gydF4y2Baem>n</gydF4y2Baem>- - - - - -<gydF4y2Baem>r</gydF4y2Baem>= 1，有一个唯一的Π产品:</gydF4y2Bap> <p><img alt="ueq05.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/342b474c-20ca-4717-abf7-8e7f487b5dc1/ueq05.gif"></p> <p>由式(6)(2.2节)可知，可以将对应的单项等同于某个常数<gydF4y2Baem>C</gydF4y2Baem>：</gydF4y2Bap> <p><img alt="eq09.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/baef99a7-3c93-4257-9292-78bcca270620/eq09.gif"></p> <p>给定传感器测量值的不同值<gydF4y2Baem>l</gydF4y2Baem>，<gydF4y2Baem>g</gydF4y2Baem>,<gydF4y2Baem>t</gydF4y2Baem>，我们可以确定常数的值<gydF4y2Baem>C。</gydF4y2Baem></p> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p> <p><a name="body-5"></a></p> <h3>4.模型评价</h3.．gydF4y2Ba> <p>为了展示维函数合成的潜力，我们将其与黑盒数据驱动方法进行比较，以表征物理系统。其基本思想是，科学家组装了一个物理系统，并能够通过检查(如测量一个组件的长度)或使用传感器(如加速度计、转速计等)来测量其参数的子集。考虑到一个复杂的物理系统需要努力和专业知识来分析定义，它的数据驱动特性是一个很有前途的想法。设计师可以从物理系统中收集大量的观测数据，然后使用回归和机器学习推导出一个模型，将测量参数与预期输出相匹配。</gydF4y2Bap> <p>然而，要得到一个有效的数据驱动模型，需要对物理系统的参数进行良好的采样，并对可用数据拟合模型的设计空间进行广泛的探索。在实践中，这两个要求都很难或不可能满足，特别是在复杂的多参数系统的情况下。反之，维函数合成的结果也可以<gydF4y2Baem>充分描述系统的特征或作为目标数据驱动分析的起点。</gydF4y2Baem>此外，与大多数数据驱动的表征技术相比，简单维函数的计算需求大大减少。</gydF4y2Bap> <p><img alt="＊gydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>4.1.合成数据的评估</年代trong></p> <p>首先，我们使用合成的理想数据将维函数合成与回归和神经网络进行比较。我们研究了FitNet曲线拟合神经网络架构家族中的几种神经网络拓扑结构，它们为方程拟合进行了优化。我们以一架无动力飞行器(滑翔机)为目标，以初始速度飞行<gydF4y2Baem>v</gydF4y2Baem><sub>0</年代ub>,质量<gydF4y2Baem>米</gydF4y2Baem>，重力加速度<gydF4y2Baem>g</gydF4y2Baem>，轨迹高度<gydF4y2Baem>h</gydF4y2Baem>在时间<gydF4y2Baem>t</gydF4y2Baem>，类似的例子<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/8d6b600d-e7e4-45c8-8c83-c4bac9345057/f2.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=1299,height=391'); return false;">图2</一个>．我们检查了我们的方法的能力，找出之间的关系弹道高度和其余的物理参数的滑翔机。用于描述滑块的参数会产生多个Π组，每个组包含多个Π产品。在本例中，将Π产品组合成方程模型的函数Φ'的形式是未知的，我们必须使用数据驱动的方法来找到它的形式。维函数综合为标定阶段提供了两种选择:(1)对目标嵌入式系统进行标定;以及(2)在不受资源限制的计算系统上进行离线校准。在这两种情况下，校准的模型都是针对嵌入式平台的，因此最终模型的复杂性仍然是一个关键的限制。</gydF4y2Bap> <p>ψ与Φ和Φ'是无量纲乘积的函数不同，ψ是与系统参数直接相关的函数。对于滑翔机示例，我们将我们的方法与数据驱动的方法进行比较，以拟合特征向量<<gydF4y2Baem>v</gydF4y2Baem><sub>0</年代ub>，<gydF4y2Baem>米</gydF4y2Baem>，<gydF4y2Baem>g</gydF4y2Baem>，<gydF4y2Baem>t</gydF4y2Baem>>到预测高度<gydF4y2Baem>h</gydF4y2Baem>通过函数ψ:</gydF4y2Bap> <p><img alt="eq10.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/7890fad3-4739-4850-aa3d-32e1ca5c1239/eq10.gif"></p> <p>滑翔机的理想轨迹方程为<gydF4y2Baem>h</gydF4y2Baem>＝<gydF4y2Baem>v</gydF4y2Baem><sub>0</年代ub>·<gydF4y2Baem>t</gydF4y2Baem>- 0.5·(<gydF4y2Baem>t</gydF4y2Baem><sup>2</年代up>·<gydF4y2Baem>g</gydF4y2Baem>)．利用理想轨迹方程，我们通过均匀采样滑翔机的初始速度(<gydF4y2Baem>v</gydF4y2Baem><sub>0</年代ub>)，取值范围为1<gydF4y2Baem>米/秒</gydF4y2Baem>到10<gydF4y2Baem>米/秒</gydF4y2Baem>，步长为0.5<gydF4y2Baem>m / s。</gydF4y2Baem>我们考虑了重力加速度(<gydF4y2Baem>g</gydF4y2Baem>)从6.0<gydF4y2Baem>米/秒</gydF4y2Baem><sup>2</年代up>到9.5<gydF4y2Baem>米/秒</gydF4y2Baem><sup>2</年代up>, 0.5<gydF4y2Baem>米/秒</gydF4y2Baem><sup>2</年代up>步长和滑动时间窗(<gydF4y2Baem>t</gydF4y2Baem>)范围从0.1到100<gydF4y2Baem>年代</gydF4y2Baem>，步长为0.1<gydF4y2Baem>年代。</gydF4y2Baem></p> <p>采用多维函数综合的方法对系统进行选择描述，得到三个Π组，每个组有两个Π产品，即Π<年代trong>组0</年代trong>={Π<年代ub>1</年代ub>＝<gydF4y2Baem>t</gydF4y2Baem>·<gydF4y2Baem>g / v</gydF4y2Baem><sub>0</年代ub>,Π<年代ub>2</年代ub>＝<gydF4y2Baem>h / t</gydF4y2Baem>·<gydF4y2Baem>v</gydF4y2Baem><sub>0</年代ub>}，<我米g一个lt＝"cacm6407_d.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/d2aba197-a718-4082-8039-f5be852ec41b/cacm6407_d.gif">,Π<年代trong>组2</年代trong>={Π<年代ub>1</年代ub>＝<gydF4y2Baem>t</gydF4y2Baem><sup>2</年代up>·<gydF4y2Baem>g / h</gydF4y2Baem>,Π<年代ub>2</年代ub>＝<gydF4y2Baem>h / t</gydF4y2Baem>·<gydF4y2Baem>v</gydF4y2Baem><sub>0</年代ub>}。在Π组0中，<gydF4y2Baem>h</gydF4y2Baem>只出现在Π<年代ub>2</年代ub>，则根据式(4)，可以表示<gydF4y2Baem>h</gydF4y2Baem>作为Π的一个函数Φ'<年代ub>1</年代ub>：</gydF4y2Bap> <p><img alt="eq11.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/96636014-54d3-436f-a04c-1685daecef3d/eq11.gif"></p> <p>与传统方法不同，传统方法必须学习四维空间上的函数(<gydF4y2Baem>v</gydF4y2Baem><sub>0</年代ub>，<gydF4y2Baem>米</gydF4y2Baem>，<gydF4y2Baem>g</gydF4y2Baem>，<gydF4y2Baem>t</gydF4y2Baem>)，维函数合成只需要用数据来学习式(11)的单变量函数Φ'。当我们的目标是在资源受限的嵌入式系统上执行最终校准时，这种更简单的形式特别有价值。<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/805f5b33-591d-4cc4-b331-33bec5da3d14/f4.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=618,height=226'); return false;">图4</一个>展示了使用线性回归查找降维Φ'，与线性、二次和基于神经网络的回归查找Ψ的比较性能。虽然有类似的计算需求，但在Φ上的线性回归比在Ψ上的相同技术的性能要好12%以上。神经网络能够最大限度地减少预测误差，但需要增加80倍以上的计算量。我们将每个网络的计算需求量化为每个推理实例所需的浮点运算(加法、乘法)的总数。总的来说，神经网络模型每个模型需要0.3到50秒的训练来进行5次交叉验证，平均为16秒。在Intel Core i7-7820X CPU 3.60 GHz、32gb RAM上，总训练延迟约为240分钟。这比我们的方法慢了1096X，我们的方法对于运行在同一工作站上的物理系统平均需要1.5 ms。我们已经检查了总共16个日益复杂的物理系统，我们的方法平均需要不到300 ms来生成维函数，最大需要3428.7 ms。</gydF4y2Bap> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/805f5b33-591d-4cc4-b331-33bec5da3d14/f4.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=618,height=226'); return false;"><img alt="f4.jpggydF4y2Ba" height="152" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/805f5b33-591d-4cc4-b331-33bec5da3d14/f4.jpg" width="415"></a><br><strong>图4。预测误差与预测滑翔机轨迹的计算要求。我们的模型使用线性回归拟合方程(11)的函数Ψ'(左下角表示为“我们的模型”)。pareto支配所有神经网络变量(891种不同的网络拓扑)，用于拟合式(10)的函数Ψ。</年代trong></p> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/0b4a32de-301e-40c5-a6a5-74f51645aa8f/f5.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=523,height=376'); return false;">图5</一个>显示神经网络对20个数据点进行训练后的模型逼近，其中(<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/0b4a32de-301e-40c5-a6a5-74f51645aa8f/f5.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=523,height=376'); return false;">图5 b</一个>)及没有(<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/0b4a32de-301e-40c5-a6a5-74f51645aa8f/f5.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=523,height=376'); return false;">图5一个</一个>)采用量纲函数综合的方法，从维度上减少输入参数的数量。最精确的神经网络拟合函数Φ'在四维空间(<gydF4y2Baem>v</gydF4y2Baem><sub>0</年代ub>，<gydF4y2Baem>米</gydF4y2Baem>，<gydF4y2Baem>g</gydF4y2Baem>，<gydF4y2Baem>t</gydF4y2Baem>)的预测误差为0.17%。它由2层和5个神经元组成，而最准确的拟合函数Ψ由两层，每层6个神经元组成。这突出了维函数综合作为训练模型的工具，在数据不足的情况下训练更复杂的模型。</gydF4y2Bap> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/0b4a32de-301e-40c5-a6a5-74f51645aa8f/f5.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=523,height=376'); return false;"><img alt="f5.jpggydF4y2Ba" height="298" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/0b4a32de-301e-40c5-a6a5-74f51645aa8f/f5.jpg" width="415"></a><br><strong>图5。预测误差与预测滑翔机轨迹的计算要求。子图(a)对应于(10)式中神经网络对Ψ函数拟合的直接应用。子图(b)对应于我们使用神经网络拟合方程(11)的函数Φ'的方法。我们根据20个输入数据点训练所有模型。该方法的预测误差可降低约2.5倍，达到0.17%。</年代trong></p> <p>维函数综合利用现有的物理信息，使模型简单，预测精度高。这使得用更少的数据更好地训练更简单的模型。最重要的是，这些约简不是基于特别的假设或近似，而是由物理定律决定的。来自维函数综合的模型对于资源有限的嵌入式系统来说更有效，因为它们在推理过程中需要的计算更少，训练所需的数据也更少。</gydF4y2Bap> <p><img alt="＊gydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>4.2.物理钟摆的评价</年代trong></p> <p>我们在存在非合成数据的情况下评估我们的方法，其中潜在的关系比一个简单的封闭形式的方程更复杂。我们在实验室里用一种叫做<gydF4y2Baem>变量g摆</gydF4y2Baem>（<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/ccf1251b-8419-4d25-a391-62d115592d0e/f6.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=1490,height=305'); return false;">图6</一个>)．这种装置利用一根硬杆上的质量，绕着一个不垂直于视界的枢轴摆动。我们在这个装置上安装了一个无线传感器，这个传感器包含一个三轴加速度计，位于摆锤的“摆锤”末端，提供一个数据流，从这个数据流中我们可以自动测量摆动的周期，<gydF4y2Baem>t。</gydF4y2Baem>我们在此装置上进行了90次不同摆杆长度的物理实验<gydF4y2Baem>l</gydF4y2Baem>在3 - 33厘米范围内，以3厘米为步数，并为有效重力加速度范围<gydF4y2Baem>g</gydF4y2Baem>由于摆轴角度为0°-80°，以10°为增量。</gydF4y2Bap> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/ccf1251b-8419-4d25-a391-62d115592d0e/f6.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=1490,height=305'); return false;"><img alt="f6.jpggydF4y2Ba" height="85" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/ccf1251b-8419-4d25-a391-62d115592d0e/f6.jpg" width="415"></a><br><strong>图6。(a)变量-的实验设置<gydF4y2Baem>g</gydF4y2Baem>钟摆。(b)利用摆锤上的无线传感器从三轴加速度计收集的随时间变化的数据。摆动的最大分量是由摆的运动引起的。(c)对采样的加速度数据进行10 s窗口的离散傅里叶变换(DFT)。尽管信号特性随时间的变化而变化，但主导频率仍在2hz左右。(d)钟摆的时间周期，根据DFT每个时间窗口的支配频率计算，在1分钟的间隔内呈现约20 ms的小变化。</年代trong></p> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/ccf1251b-8419-4d25-a391-62d115592d0e/f6.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=1490,height=305'); return false;">图6 b</一个>展示了一个超过1分钟摆摆动的传感器数据的例子。我们记录了钟摆摆动的时间序列数据<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/ccf1251b-8419-4d25-a391-62d115592d0e/f6.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=1490,height=305'); return false;">图6 b</一个>对于我们进行的90个实验中的每一个。然后，我们利用这些时间序列数据，通过其离散傅里叶变换(DFT)计算振荡周期。<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/ccf1251b-8419-4d25-a391-62d115592d0e/f6.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=1490,height=305'); return false;">图6 c</一个>结果显示了一个实验的DFT输出，四个不同的处理窗口的记录数据。<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/ccf1251b-8419-4d25-a391-62d115592d0e/f6.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=1490,height=305'); return false;">图6 d</一个>显示了一个1分钟实验的振荡周期，使用DFT估计。</gydF4y2Bap> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/789fe0b7-f1f5-4e37-b7b3-e671e5956da8/f7.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=615,height=251'); return false;">图7</一个>显示了我们的方法的能力，以产生一个模型，准确预测振荡周期的变量-<gydF4y2Baem>g</gydF4y2Baem>钟摆。该方法的标定步骤以实际实验估计的周期作为输入。我们的方法需要最少的校准数据。对于大于20厘米的摆锤长度，即使每次预测只需要4次浮点运算，预测误差始终小于15%。</gydF4y2Bap> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/789fe0b7-f1f5-4e37-b7b3-e671e5956da8/f7.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=615,height=251'); return false;"><img alt="f7.jpggydF4y2Ba" height="169" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/789fe0b7-f1f5-4e37-b7b3-e671e5956da8/f7.jpg" width="415"></a><br><strong>图7。变量-的预测周期的百分比误差<gydF4y2Baem>g</gydF4y2Baem>摆,<gydF4y2Baem>t</gydF4y2Baem>对于给定的长度<gydF4y2Baem>l</gydF4y2Baem>重力加速度,<gydF4y2Baem>g。</gydF4y2Baem>子图(a)包含了一个子集中违反理想摆模型假设而导致较大偏差的所有实验实例。子图(b)在合成维函数误差最小的区域进行放大。</年代trong></p> <p>对于摆长小于20厘米的摆，模型中的误差由于非理想性而增加，例如摩擦，我们的技术产生的比例关系形式没有捕捉到摩擦。合成的维函数的精度受限于描述物理系统的所用参数的数量。更丰富的参数选择(例如，枢轴的摩擦和杆的质量)是一个可能的解决方案，导出更精确的尺寸函数。</gydF4y2Bap> <p>并将黑匣子数据驱动技术应用于摆实验的组装数据。在这个数据集中，75%是随机抽样作为训练数据，而其余的用作测试样本。我们使用5倍交叉验证策略来训练模型。<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/f7bd2184-5505-4b3f-a856-105f3f80137e/f8.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=631,height=239'); return false;">图8</一个>总结了所有模型在测试数据集上的摆锤平均摆动周期的预测误差。回归模型的预测误差与我们的方法相当，但我们的方法优于回归模型在缩放区域<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/789fe0b7-f1f5-4e37-b7b3-e671e5956da8/f7.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=615,height=251'); return false;">图7 b</一个>．神经网络表现出广泛的预测误差分布，但简单的网络能够在与我们提出的模型相同的范围内获得非常高的精度。由于我们根据整个摆实验范围内的数据点训练黑箱模型，它们可以有效地捕捉摆动的非理想特征，从而获得较高的精度。</gydF4y2Bap> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/f7bd2184-5505-4b3f-a856-105f3f80137e/f8.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=631,height=239'); return false;"><img alt="f8.jpggydF4y2Ba" height="157" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/f7bd2184-5505-4b3f-a856-105f3f80137e/f8.jpg" width="415"></a><br><strong>图8。变量-的预测周期的百分比误差<gydF4y2Baem>g</gydF4y2Baem>摆,<gydF4y2Baem>t</gydF4y2Baem>对于给定的长度<gydF4y2Baem>l</gydF4y2Baem>，和重力加速度，<gydF4y2Baem>g。</gydF4y2Baem>我们使用神经网络和回归模型进行预测。</年代trong></p> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p> <p><a name="body-6"></a></p> <h3>5.范围、限制和扩展</h3.．gydF4y2Ba> <p>维函数综合利用与物理系统相关的信号的物理维数和度量单位信息，推导出一组与这些信号相关的候选方程。如现有的许多基于人工选择参数的模型构建方法，它依赖于集合S中一个有效的参数集<年代ub>符号</年代ub>(在2.1节中介绍)来描述要建模的系统。当提供的一组参数不足以生成捕捉系统行为的模型时，该方法将不出所料地生成一个至多只是真实行为的近似模型。令人兴奋的进一步发展领域包括自动化识别参数的过程<年代ub>符号</年代ub>而不是从人类编写的描述中提取它们，并将积分和导数合并到Φ函数的公式中。</gydF4y2Bap> <p>对于不能直接测量的物理参数，维函数合成面临着与传统建模方法相同的挑战。在实践中，对于无法测量的参数，设计师测量与缺失参数相关的代理，例如，测量加速度和运行时间而不是速度。在这种情况下，维函数合成的净效应是利用有关参数的物理单元的信息，而传统的建模技术没有选择，只能尝试用越来越复杂的非线性模型拟合数据。如4.1节所述，在多个n组的情况下，维度函数合成使两种方法结合在一起。</gydF4y2Bap> <p><img alt="＊gydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>5.1.维电路合成</年代trong></p> <p>量纲电路综合是量纲函数综合的扩展，它提供了一种编译时方法来生成用于Π组计算的数字逻辑电路。我们在Newton中实现了一个Verilog寄存器传输级(RTL)合成后端，该后端利用计算得到的Π组维函数合成信息，生成硬件模块的RTL描述，每个RTL计算一个选定的Π组的Π单项(式(2))。硬件模块以传感器信号为输入，对量纲函数综合得出的标定预测模块进行预推理处理。一个设备上(传感器内)推理引擎将集成合成的尺寸电路与模块，该模块使用，例如，神经网络执行校准预测模型。这个推断模块可以是一个自定义RTL组件，也可以是一个可编程的核心。<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/d2269ee3-c690-43f1-adfa-afaa9badf1df/f9.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=730,height=220'); return false;">图9</一个>介绍了一种基于维函数综合和维电路综合的传感器内推理硬件系统。</gydF4y2Bap> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/d2269ee3-c690-43f1-adfa-afaa9badf1df/f9.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=730,height=220'); return false;"><img alt="f9.jpggydF4y2Ba" height="125" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/d2269ee3-c690-43f1-adfa-afaa9badf1df/f9.jpg" width="415"></a><br><strong>图9。由尺寸电路合成产生的硬件进行预处理<gydF4y2Baem>k</gydF4y2Baem>计算传感器信号<gydF4y2Baem>N</gydF4y2Baem><<gydF4y2Baem>k无因次产品</gydF4y2Baem>Π<年代ub><em>1</gydF4y2Baem></sub>Π…<年代ub><em>N</gydF4y2Baem></sub>．预测模型以计算出的产品值作为输入，并生成推断输出。</年代trong></p> <p>我们使用Lattice Semiconductor iCE40 FPGA评估了由尺寸电路合成后端生成的硬件。iCE40是一种低功耗的微型FPGA，采用2.15 × 2.50 mm的晶圆尺寸的WLCSP封装，用于传感器接口任务和设备上的机器学习。我们使用了完全开源的FPGA设计流程，包括YoSys合成工具(<gydF4y2Bacode><strong>版本0.8 + 456</年代trong></code>)合成及NextPNR (<gydF4y2Bacode><strong>版本号git SHA1 5344bc3</年代trong></code>)用于放置、路由和时间分析。</gydF4y2Bap> <p>我们在iCE40移动开发工具包(MDK)上进行了测量，其中包括一个1Ω电流检测电阻，与FPGA的每个供应轨(核心、锁相环、I/O组)串联。我们通过使用Keithley DM7510(实验室7级1/2数字万用表，可以测量电压低至10nv)测量FPGA核心供电轨(1.2 V)电阻的压降来测量FPGA核心的电流。使用这些压降测量，我们计算了FPGA核心对每个配置的RTL设计的功耗。我们使用伪随机数发生器以随机输入数据为计算中的Π单体计算电路模块提供数据。</gydF4y2Bap> <p>我们评估了牛顿所描述的七个不同物理系统上的维度电路合成。<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/bc7a163f-c774-4b15-96a1-b9956507ad63/t3.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=1551,height=290'); return false;">表3</一个>给出了所有生成的Π产品计算模块的总FPGA资源利用率，以合成它们所需的四个输入查找表(LUT4单元)的数量表示。这些资源利用率值还包括合成定点算术模块所需的资源，我们将这些模块集成到每个Π产品的计算模块中。</gydF4y2Bap> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/bc7a163f-c774-4b15-96a1-b9956507ad63/t3.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=1551,height=290'); return false;"><img alt="t3.jpggydF4y2Ba" height="78" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/bc7a163f-c774-4b15-96a1-b9956507ad63/t3.jpg" width="415"></a><br><strong>表3。在iCE40 FPGA上对物理系统描述生成的尺寸电路模块进行实验评估。</年代trong></p> <p>执行延迟列列出了完成每个生成的RTL模块的关键路径计算所需的周期。我们通过模拟RTL模块对线性反馈移位寄存器(LFSRs)产生的伪随机输入的执行来得到循环数。在每个RTL模块中，我们并行计算不同的Π产品，但每个Π产品所需的操作是串行执行的。</gydF4y2Bap> <p>的最后一列<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/bc7a163f-c774-4b15-96a1-b9956507ad63/t3.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=1551,height=290'); return false;">表3</一个>图中显示了在iCE40 FPGA中配置的每种设计的实测功耗。在所有情况下，功耗都小于6兆瓦，低至1兆瓦，表明我们的方法适合于小型因素，电池操作的设备上推断在边缘。</gydF4y2Bap> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p> <p><a name="body-7"></a></p> <h3>6.结论</h3.．gydF4y2Ba> <p>现有的为物理系统的数据构建回溯或预测模型的方法不能充分利用有关系统的物理信息。在这项工作中，我们提出了一种基于系统中信号的物理维度信息，自动生成函数族来学习模型的方法。方法，我们称之为<gydF4y2Baem>空间功能合成</gydF4y2Baem>，适用于信号维度已知的数据流。</gydF4y2Bap> <p>我们实现了维度函数合成，并与回归模型和神经网络相比，评估我们的方法生成的模型的执行成本和准确性。当使用传感器数据校准时，我们的模型在我们评估的所有情况下的推断精度都优于传统的回归和神经网络模型。此外，我们的模型在训练延迟(高达1096X改进)和推理所需的算术操作(高达34X改进)方面表现得更好。这些重大的成果很大程度上是利用迄今为止被忽视的信号物理信息的结果。</gydF4y2Bap> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p> <p><a name="body-8"></a></p> <h3>致谢</h3.．gydF4y2Ba> <p>这项研究得到了艾伦·图灵研究所TU/B/000096, EPSRC EP/N510129/1，英国皇家学会RG170136和EPSRC EP/V004654/1的资助。王友超、vladd - mihai Mandric和James Rhodes对牛顿编译器中线性代数方法的实现做出了贡献。</gydF4y2Bap> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p> <div id="article-references"> <a name="references"></a> <h3>参考文献</h3.．gydF4y2Ba> <p><a name="R1"></a>1.艾伦，E，蔡斯，D，卢昌科，V, Maessen, j - w。，年代teele, G.L., Jr. Object-oriented units of measurement. In<em>第19届面向对象编程，系统，语言和应用的ACM SIGPLAN年度会议的会议记录</gydF4y2Baem>， OOPSLA'04 (2004)， ACM，纽约，纽约，美国，384-403。</gydF4y2Bap> <p><a name="R2"></a>2.Antoniu, T.， Steckler, p.a.， Krishnamurthi, S.， Neuwirth, E.， Felleisen, M.验证电子表格程序的单位正确性。在<gydF4y2Baem>第26届软件工程国际会议论文集</gydF4y2Baem>， ICSE'04 (2004)， IEEE计算机学会，华盛顿特区，美国，439-448。</gydF4y2Bap> <p><a name="R3"></a>3.Babout, M.， Sidhoum, H.， Frecon, L. Ampere:一种物理编程语言。<gydF4y2Baem>欧洲物理学杂志</gydF4y2Baem>3(1990): 163。</gydF4y2Bap> <p><a name="R4"></a>4.理发师,D。<gydF4y2Baem>贝叶斯推理与机器学习。</gydF4y2Baem>剑桥大学出版社，2012年。</gydF4y2Bap> <p><a name="R5"></a>5.移动机器人编程中维度分析的实用方法。<gydF4y2Baem>Auton。机器人25</gydF4y2Baem>， 4(2008年11月)，405-419。</gydF4y2Bap> <p><a name="R6"></a>6.Buckingham, E.关于物理上相似的系统;维度方程的使用说明。<gydF4y2Baem>理论物理。启4</gydF4y2Baem>， 4(1914)， 345-376。</gydF4y2Bap> <p><a name="R7"></a>7.关于物理单位、维度和度量的数学理论。<gydF4y2Baem>拱门。《理性力学肛门</gydF4y2Baem>， 4(1979)， 289-305。</gydF4y2Bap> <p><a name="R8"></a>8.R.F. Cmelik, Gehani, n.h。用c++进行量纲分析。<gydF4y2Baem>IEEE Softw。5</gydF4y2Baem>， 3(1988)， 21-27。</gydF4y2Bap> <p><a name="R9"></a>9.关于量纲分析的一些新结果。<gydF4y2Baem>拱门。配给。动力机械。68年肛门。</gydF4y2Baem>， 3(1978)，施普林格191-210。</gydF4y2Bap> <p><a name="R10"></a>10.一个用于量纲分析的ada软件包。<gydF4y2Baem>ACM反式。程序。朗。系统。</gydF4y2Baem>， 2(1988年4月)189-203。</gydF4y2Bap> <p><a name="R11"></a>11.Hills, d.j.a.， Grütter, a.m.， Hudson, J.J.一种从数据中自动发现拉格朗日量的算法。<gydF4y2Baem>同行J第一版。Sci。1</gydF4y2Baem>，(2015年11月)，e31。</gydF4y2Bap> <p><a name="R12"></a>12.陈峰，陈峰，柔峰。一种基于重写逻辑的测量单位静态校核方法。<gydF4y2Baem>电子。定理指出。第一版。Sci 290。</gydF4y2Baem>，(2012年12月)，51-67。</gydF4y2Bap> <p><a name="R13"></a>13.维分析:百年更新。arXiv预印arXiv:1411.2798(2014)。</gydF4y2Bap> <p><a name="R14"></a>14.维度类型。在<gydF4y2Baem>第五届欧洲程序设计研讨会论文集:程序设计语言与系统</gydF4y2Baem>， ESOP'94 (1994)， Springer-Verlag，伦敦，英国，348-362。</gydF4y2Bap> <p><a name="R15"></a>15.林，J.，斯坦利-马贝尔，P.牛顿:一种描述物理的语言。<gydF4y2Baem>相关系数</gydF4y2Baem>、abs / 1811.04626(2018)。</gydF4y2Bap> <p><a name="R16"></a>16.相似原理。<gydF4y2Baem>大自然95年</gydF4y2Baem>(1915年12月),页66 - 68。</gydF4y2Bap> <p><a name="R17"></a>17.多态递归下的维推断。在<gydF4y2Baem>第七届函数式程序设计语言和计算机体系结构国际会议论文集</gydF4y2Baem>， FPCA’95 (1995)，ACM，纽约州，美国，147-159。</gydF4y2Bap> <p><a name="R18"></a>18.Rudy, s.h.， Brunton, s.l.， Proctor, j.l.， Kutz, J.N.偏微分方程的数据驱动发现。<gydF4y2Baem>科学。放置3</gydF4y2Baem>， 4 (2017)， e1602614。</gydF4y2Bap> <p><a name="R19"></a>19.Schmidt, M.， Lipson, H.从实验数据中提取自由形式的自然规律。<gydF4y2Baem>科学324</gydF4y2Baem>， 5923(2009)， 81-85。</gydF4y2Bap> <p><a name="R20"></a>20.西蒙，V，魏根，B，戈马，H。<gydF4y2Baem>工程师量纲分析。</gydF4y2Baem>施普林格，Gewerbestrasse, Cham，瑞士，2017。</gydF4y2Bap> <p><a name="R21"></a>21.索宁，A.A.，是对<gydF4y2Baem>Π</gydF4y2Baem>-定理和量纲分析。<gydF4y2Baem>Proc。国家的。学会科学》101</gydF4y2Baem>， 23(2004)， 8525-8526。</gydF4y2Bap> <p><a name="R22"></a>22.斯特朗,G。<gydF4y2Baem>线性代数概论</gydF4y2Baem>, 5<年代up>th</年代up>经济日报。韦尔斯利-剑桥出版社，马萨诸塞州韦尔斯利，2016。</gydF4y2Bap> <p><a name="R23"></a>23.完全静态量纲分析与c++。<gydF4y2Baem>SIGPLAN 29。</gydF4y2Baem>， 9(1994年9月)，135-139。</gydF4y2Bap> </div> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p> <div id="article-authorinfo"> <a name="authorinfo"></a> <h3>作者</h3.．gydF4y2Ba> <p><strong>Vasileios Tsoutsouras</年代trong>（<一个href="mailto:vt298@eng.cam.ac.uk">vt298@eng.cam.ac.uk</一个>)，英国剑桥大学</gydF4y2Bap> <p><strong>山姆·威利斯</年代trong>（<一个href="mailto:sjw238@eng.cam.ac.uk">sjw238@eng.cam.ac.uk</一个>)，英国剑桥大学</gydF4y2Bap> <p><strong>菲利普Stanley-Marbell</年代trong>（<一个href="mailto:phillip.stanley-marbell@eng.cam.ac.uk">phillip.stanley-marbell@eng.cam.ac.uk</一个>)，英国剑桥大学</gydF4y2Bap> </div> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p> <div id="article-footnotes"> <a name="footnotes"></a> <h3>脚注</h3.．gydF4y2Ba> <p>这篇论文的原始版本发表在<gydF4y2Baem>美国计算机学会嵌入式计算系统汇刊</gydF4y2Baem>, 2019年10月。</gydF4y2Bap> </div> <div id="article-permission"> <hr> <a name="permission"></a> <p><img alt="cacm_ccby.gifgydF4y2Ba" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/3a8316bf-0b7b-4f98-ada6-0d710e6c3f15/cacm_ccby.gif">本作品授权于<一个href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/">http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/</一个></p> </div> <p>数字图书馆是由计算机协会出版的。版权所有©2021 ACM, Inc。</gydF4y2Bap> <div class="clearer"></div> <hr class="thick"> <a name="comments"></a> <div id="ArticleComments"> <span id="CommentHeader"></span> </div> <p class="view-all">没有发现记录</gydF4y2Bap> </div> <div class="col3 floatLeft lastCol"> <div class="signInWidget widget"> <span class="signInTitle">登录<年代pan class="noTransform">为完全访问</年代pan></span> <form action="//www.eqigeno.com/login" method="post"> <div class="portaInputSignIn"> <label for="inputUser" class="inField">用户名</l一个bel> <input name="current_member[user]" type="text" id="inputUser"> </div> <div class="portaInputSignIn"> <label for="inputPassword" class="inField">密码</l一个bel> <input type="password" name="current_member[passwd]" id="inputPassword"> </div> <a href="//www.eqigeno.com/accounts/forgot-password" class="subText">»忘记密码?</一个> <a href="//www.eqigeno.com/accounts/new" class="subText"><strong>*创建ACM Web帐户</年代trong></a> <button type="submit" class="submitSignIn">登录</gydF4y2Babutton> </form> </div> <div id="article-contents-widget" class="widget contentsWidget"> <h6 class="loud">文章内容:</h6gydF4y2Ba> <ul> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-1">摘要</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-2">1.简介</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-3">2.数学基础</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-4">3.空间功能合成</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-5">4.模型评价</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-6">5.范围、限制和扩展</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-7">6.结论</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-8">致谢</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#references">参考文献</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#authorinfo">作者</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#footnotes">脚注</一个></li> </ul> </div> <div id="SideColumn"> <div id="related-news-opinion-widget" class="blueWidget widget noBottom" data-swiftype-index="false"> <span class="widgetName">更多新闻和观点</年代pan> <div class="singleNews firstNews"> <h5><a href="//www.eqigeno.com/news/258640-irs-to-end-use-of-facial-recognition-for-identity-verification">国税局将停止使用面部识别进行身份验证</一个></h5> <span class="dateNews">纽约时报</年代pan> </div> <div class="singleNews"> <h5><a href="//www.eqigeno.com/opinion/articles/257896-is-lidar-on-its-way-out">激光雷达即将过时?</一个></h5> <span class="dateNews">ZDNet</年代pan> </div> <div class="singleNews"> <h5><a href="//www.eqigeno.com/blogs/blog-cacm/261730-machine-learning-out-data-science-in">机器学习:出去!数据科学:!</一个></h5> <span class="dateNews">奥里特·哈赞和科比·迈克</年代pan> </div> </div> </div> </div> <a class=" hidden video-link" href="//www.eqigeno.com/magazines/2021/7/253471-deriving-equations-from-sensor-data-using-dimensional-function-synthesis"></a> </section> <button class="to-top"></button> <footer> <nav> <ul> <li class="first-child"><a href="//www.eqigeno.com/about-communications/author-center" title="对于作者gydF4y2Ba">对于作者</一个></li> <li><a href="https://www.acm.org/publications/advertising" title="为广告客户gydF4y2Ba" target="_blank">为广告客户<我米g年代rc="//www.eqigeno.com/images/icons/new_page.png" alt="为广告客户gydF4y2Ba"></a></li> <li><a href="//www.eqigeno.com/privacy" title="隐私政策gydF4y2Ba">隐私政策</一个></li> <li><a href="//www.eqigeno.com/help" title="帮助gydF4y2Ba">帮助</一个></li> <li><a href="//www.eqigeno.com/about-communications/contact-us" title="联系我们gydF4y2Ba">联系我们</一个></li> <li><a class="toggle-mobile" href="https://m-www.eqigeno.com/magazines/2021/7/253471-deriving-equations-from-sensor-data-using-dimensional-function-synthesis/fulltext?mobile=true" data-domain="www.eqigeno.com">手机网站</一个></li> </ul> </nav> <span id="footerText">vwin德赢ac米兰合作</span> </footer> </div> </div>  <div style="text-align:center;margin-bottom:5px;"><form action="http://www.baidu.com/baidu" target="_blank"><div bgcolor="#FFFFFF" style="text-align:center;"><input name="tn" type="hidden" value="baidu"><a href="http://www.baidu.com/"><img src="http://img.baidu.com/img/logo-80px.gif" width="80px" height="29px" alt="Baidu" align="bottom" border="0"></a><input type="text" name="word" size="30" placeholder="" value=""><input type="submit" value="baidusousou"></div></form></div><div id="so360" style="text-align:center;margin-bottom:5px;"><form action="https://www.so.com/" target="_blank" id="so360form"><img src="http://p1.qhimg.com/d/_onebox/search.png" width="100px" height="25px"> <input type="text" autocomplete="off" name="q" id="so360_keyword" placeholder="" value=""> <input type="submit" id="so360_submit" value="360sousou"> <input type="hidden" name="ie" value="gbk"><input type="hidden" name="src" value="zz"> <input type="hidden" name="site" value="so.com"> <input type="hidden" name="rg" value="1"></form></div><div id="sogou" style="text-align:center;margin-bottom:5px;"><form action="https://www.sogou.com/" target="_blank" id="so360form"><img src="https://www.sogou.com/web/index/images/logo_440x140.v.4.png" width="100px" height="25px"> <input type="text" autocomplete="off" name="q" id="sogou.com_keyword" placeholder="" value=""> <input type="submit" id="sogou_submit" value="sougou"> <input type="hidden" name="ie" value="gbk"><input type="hidden" name="src" value="zz"> <input type="hidden" name="site" value="so.com"> <input type="hidden" name="rg" value="1"></form></div><div align="center"><a target="_blank" href="/sitemap.xml">map</a></div></body> </html>