有界秩宽图的同构、规范化和可定义性</t我tle> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/all.css" rel="stylesheet"> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/jplayer.pink.flag.css" rel="stylesheet"> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/sections/videos.css" rel="stylesheet"> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/tipsy.css" rel="stylesheet"> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/colorbox.css" rel="stylesheet"> <style> html{overflow: auto !important;} </style> <style> iframe body { overflow: hidden; } iframe { border: none; margin: 0; } .fav_hacker_news { background:url('https://img.icons8.com/color/48/000000/hacker-news.png') no-repeat center #FFF; background-size: 21.5px; } .fav_hacker_news:hover { background:url('https://img.icons8.com/color/48/000000/hacker-news.png') no-repeat center #e6e9ea; background-size: 21.5px; } .fav_bar a.fav_reddit { background-size: 22px; background:url('//www.eqigeno.com/images/icons/reddit.gif') no-repeat center #FFF; } .fav_bar a.fav_reddit:hover { 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href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/4/259407-trends-in-computer-science-research-within-european-countries">vwin德赢ac米兰官方网 </a></p> <p>我们研究了稠密图类(有界秩宽图类)上的图同构问题、逻辑可定义性和结构图论之间的相互作用。证明了维数(3)的组合weisfeiller - leman算法<em>k</em>+ 4)是对秩宽最多的所有图的类的完全同构检验<em>k。</em>我们的结果的一个结果是第一个多项式时间正则化算法的图有界秩宽度。</p> <p>我们的第二个主要结果解决了描述复杂性理论中的一个开放问题:我们证明了带计数的不动点逻辑精确地表达了有界秩宽图的多项式时间性质。</p> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p> <p><a name="body-2"></a></p> <h3>1.简介</h3> <p>是否存在一种有效的算法来决定两个图是否同构的问题是理论计算机科学中最古老和最著名的未决问题之一。已经在卡普的书中提到过了<sup><a href="#R18">18</一个></sup>关于NP完全组合问题的开创性文章，图同构(从现在起:GI)一直是NP中为数不多的既不能在多项式时间内求解也不能为NP完全的自然问题之一。这个问题最近受到了相当多的关注，因为爸爸的<sup><a href="#R1">1</一个></sup>在拟多项式时间内确定GI的突破算法<em>n</em><sup>polylog (<em>n</em>）</sup>．</p> <p>然而，GI是否可在多项式时间内求解的问题仍然是开放的。多项式时间算法因GI对许多有趣的图类的限制而闻名，例如平面图类<sup><a href="#R14">14</一个></sup>，有界度的类<sup><a href="#R19">19</一个></sup>，甚至所有不将固定图作为拓扑子图的类<sup><a href="#R9">9</一个></sup>，直到最近，有界秩宽度的图类。<sup><a href="#R11">11</一个></sup></p> <p><em>排名宽度</em>，由乌姆和西摩介绍，<sup><a href="#R21">21</一个></sup>是一个图不变量，它度量以某种样式分层分解图的效果。在这方面，它类似于更广为人知的树宽，但树宽根据两边之间的“连通性”来衡量分层分解中分离的复杂度或宽度，秩宽根据分离的两边之间的边的邻接矩阵的秩来衡量分离的复杂性(参见<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/db0e9486-aeca-46f9-a18b-0e94865abe86/f1.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=708,height=300'); return false;">图1</一个>)．与树宽度相反，秩宽度也是对密集图的简单性的一种有意义的度量。例如，一个完整图(可以说是最简单的密集图)的秩宽是1。等级宽度与派系宽度密切相关，<sup><a href="#R5">5</一个></sup>另一个被充分研究的基于图语法的图不变量。许多困难的算法问题都可以在有界秩宽图上，或者等价地在有界团宽图上有效地求解，其中所有的问题都可以在一元二阶逻辑中定义。<sup><a href="#R4">4</一个></sup></p> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/db0e9486-aeca-46f9-a18b-0e94865abe86/f1.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=708,height=300'); return false;"><img alt="f1.jpg" height="176" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/db0e9486-aeca-46f9-a18b-0e94865abe86/f1.jpg" width="415"></a><br><strong>图1。一个秩宽为2的密集图(左)和这个宽度为2的图的分层“秩分解”(右)。由于顶点切割和右边的分解是非常规则的，所以秩宽较低。</strong></p> <p>本文研究了有界秩宽图类的图同构问题和密切相关的图规范化问题，以及图类的逻辑可定义性和描述复杂性。我们工作的技术核心是一种美丽的连接。<sup><a href="#R2">2</一个></sup>)是一种通用的组合图同构算法weisfeler - leman算法和一种通常用于证明逻辑中下界的Ehrenfeucht-Frässé风格的博弈。</p> <p>虽然已知秩宽有界图类的多项式时间同构算法<sup><a href="#R11">11</一个></sup>在此工作之前，该算法的运行时间为<em>n</em><sup><em>f</em>（<em>k</em>）</sup>,在那里<em>n</em>顶点的个数和<em>k</em>输入图的秩宽，和<em>f</em>是一个<em>nonelementary</em>函数。此外，该算法非常复杂，使用了结构图论的先进技术<sup><a href="#R12">12</一个></sup>以及群论图同构机制。<sup><a href="#R19">19</一个></sup></p> <p>我们的第一个贡献是秩宽最多的图的一个简单同构检验<em>k</em>运行的时间<em>n</em><sup><em>O</em>（<em>k</em>）</sup>．实际上，我们使用的算法是一种通用的组合同构检验，称为weisfeiller - leman算法。<sup><a href="#R23">23</一个>，<一个href="#R1">1</一个>，<一个href="#R2">2</一个></sup>的<em>ℓ</em>-<em>维Weisfeiler-Leman</em>算法(<em>ℓ</em>迭代- wl)颜色<em>ℓ</em>-tuple的两个输入图形的顶点，然后比较得到的颜色图案。如果它们不同，我们就知道这两个输入图是非同构的。如果两个图形具有相同的颜色图案，一般来说，它们仍然可能是非同构的。<sup><a href="#R2">2</一个></sup>因此<em>ℓ</em>-WL不是<em>完整的</em>所有图的同构检验。但是，我们证明了它适用于秩宽有界的图。我们说<em>ℓ</em>- wl<em>标识</em>一个图表<em>G</em>如果它区别<em>G</em>从每一个图<em>H</em>不同构<em>G。</em></p> <p>定理1。<em>的</em>(3<em>k</em>+ 4) -<em>维维weisfeler - leman算法识别秩宽不超过k的每一个图。</em></p> <p>结合这个定理和Immerman和Lander关于WL算法运行时间的结果，我们得到:</p> <p>推论2。<em>秩宽为k的图在时间O时可以确定同构性</em>（<em>n</em><sup>3.<em>k</em>+ 5</sup>日志<em>n</em>)．</p> <p>另一种表述定理1的方法是<em>Weisfeiler-Leman (WL)维度</em><sup><a href="#R8">8</一个></sup>的秩宽图<em>k</em>最多是3<em>k</em>+ 4。众所周知，许多自然图类都具有有限的WL维数，其中所有的图类都不包括一些固定的小图。<sup><a href="#R8">8</一个></sup>但这些类大多由稀疏图组成，其边数与顶点数呈线性关系。我们的结果添加了一个丰富的类家族，其中包括密集的图。</p> <p>在图同构的许多应用中，实际上有必要计算一个图的规范表示，即所谓的<em>规范形式</em>，而不是仅仅判断两个图是否同构。一个<em>规范形式</em>对于图形课来说<em>C</em>是一个函数<em>k</em>：<em>C</em>→<em>C</em>这样</p> <ol> <li><em>k</em>（<em>G</em>)≅<em>G</em>对所有<em>G</em>∈<em>C</em>,</li> <li><em>k</em>（<em>G</em>）＝<em>k</em>（<em>H</em>)对于所有同构图<em>G</em>，<em>H</em>∈<em>C。</em></li> </ol> <p>注意类的同构问题<em>C</em>很容易简化为计算的规范形式<em>C</em>(例如，给定一个图表<em>G</em>∈<em>C</em>,计算<em>k</em>（<em>G</em>))。另一个方向的减少是不知道的。然而，已知如果一类图最多有WL维<em>ℓ</em>然后有一个算法计算该类的标准形式<em>O</em>（<em>n</em><sup><em>ℓ</em>＋３</sup>日志<em>n</em>)．因此，作为定理1的另一个推论，我们得到了秩宽度有界图的第一个多项式时间规范化算法。</p> <p>推论3。<em>有一种算法可以计算时间O中秩宽不超过k的一类图的标准形式</em>（<em>n</em><sup>3.<em>k</em>+ 7</sup>日志<em>n</em>)．</p> <p>本文的第二部分是描述复杂度理论，其目的是将计算复杂度和描述(或逻辑)复杂度联系起来。这个领域的核心开放性问题是，是否存在一种逻辑<em>捕获多项式时间。</em><sup><a href="#R3">3.</一个>，<一个href="#R13">13</一个></sup>我们将把这个问题及其背景的更详细的讨论推迟到第4节，在这一点上只陈述我们的主要结果。</p> <p>定理4。<em>定点逻辑计数</em>FP + C<em>捕获每一类有界秩宽图的多项式时间。</em></p> <p>在一个非常高的层面上，这两个定理之间的联系是为了证明定理4，我们在逻辑FP+C的范围内模拟定理1的证明。</p> <p>本文的其余部分组织如下:第2节对weisfeler - leman算法进行了全面介绍。在第三节中，我们正式地引入秩宽，并非正式地简述了定理1的证明。最后，第4节致力于描述复杂性理论和定理4。</p> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p> <p><a name="body-3"></a></p> <h3>2.Weisfeiler-Leman算法</h3> <p><img alt="＊" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>2.1.颜色细化算法</strong></p> <p>解决图同构问题的最简单的组合程序之一是颜色细化算法。简而言之，基本思想是用迭代度序列标记图的顶点。更准确地说，一种最初一致的颜色通过计算每种颜色的相邻颜色的数量来反复细化。</p> <p>让<em>G</em>是一个图。让χ<sub>1</sub>,χ<sub>2</sub>：<em>V</em>（<em>G</em>)→<em>C</em>是顶点的颜色<em>C</em>是一个有限的颜色集合。的着色<em>X</em><sub>1</sub><em>改进</em><em>X</em><sub>2</sub>，用χ<sub>1</sub>χ<sub>2</sub>,如果χ<sub>1</sub>（<em>v</em>) =χ<sub>1</sub>（<em>w</em>)意味着χ<sub>2</sub>（<em>v</em>) =χ<sub>2</sub>（<em>w</em>)为所有<em>v</em>，<em>w</em>∈<em>V</em>（<em>G</em>)．的色素<em>X</em><sub>1</sub>而且<em>X</em><sub>2</sub>是<em>等效</em>,用<em>X</em><sub>1</sub>≡<em>X</em><sub>2</sub>,如果<em>X</em><sub>1</sub><em>X</em><sub>2</sub>而且<em>X</em><sub>2</sub><em>X</em><sub>1</sub>．</p> <p>我们给出了颜色细化算法的形式化描述。最初，所有顶点都被分配相同的颜色。在形式上,我们定义<我米g alt="cacm6405_x.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a4109db8-01db-428a-bcef-bd0ef0fa2e13/cacm6405_x.gif">对所有<em>v</em>∈<em>V</em>（<em>G</em>)．然后，对着色进行迭代细化如下<em>我</em>> 0，我们定义<我米g alt="cacm6405_y.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/9e994967-5165-499a-9332-84cd573b896f/cacm6405_y.gif">在哪里</p> <p><img alt="ueq01.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/0ef1defb-13bd-4b96-a97f-4833f12fbfc2/ueq01.gif"></p> <p>在上一轮中计算的相邻颜色的多集。</p> <p>在每一轮中，算法计算一个比上一轮计算的颜色更细的颜色，即:<我米g alt="cacm6405_z.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/ba399a6d-7e5b-428c-875d-1662f2e805e6/cacm6405_z.gif">．在某一时刻，这一过程趋于稳定，意味着颜色不再严格地变得更细。换句话说，有一个极小值<em>我</em><sup>＊</sup>∈N<我米g alt="cacm6405_aa.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/32a9eba3-c68a-4469-92e0-6f9479e23781/cacm6405_aa.gif">．我们把相应的颜色表示为<em>稳定的</em>着色和定义<我米g alt="cacm6405_ab.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/101977e8-9751-4e4e-a3b9-661dc1646f90/cacm6405_ab.gif">．作为一个例子，长度为6的路径的着色序列描述在<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/f37cd60a-1efe-4966-8984-fdaa81fa2a0a/f2.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=680,height=283'); return false;">图2</一个>．</p> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/f37cd60a-1efe-4966-8984-fdaa81fa2a0a/f2.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=680,height=283'); return false;"><img alt="f2.jpg" height="173" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/f37cd60a-1efe-4966-8984-fdaa81fa2a0a/f2.jpg" width="415"></a><br><strong>图2。颜色优化算法在长度为6的路径上的迭代。</strong></p> <p>颜色细化算法以图形作为输入<em>G</em>和输出(相当于)<em>X<sup>G</sup></em>．它可以在几乎线性的时间内实现，也就是说，在时间上<em>O</em>（(<em>n</em>+<em>米</em>)日志<em>n</em>),<em>n</em>表示顶点和的数量<em>米</em>的边数<em>G。</em></p> <p>颜色细化算法最常见的应用之一是作为GI的启发式。由于颜色细化算法计算的颜色以同构不变的方式定义，每一个同构:<em>G</em><em>H</em>两个图<em>G</em>而且<em>H</em>满足,χ<sup><em>G</em></sup>（<em>v</em>) =χ<sup><em>H</em></sup>对所有<em>v</em>∈<em>V</em>（<em>G</em>)．颜色细化算法<em>区分G</em>而且<em>H</em>如果有一种颜色<em>c</em>这样</p> <p><img alt="ueq02.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/55843129-861d-47ae-8dd3-cb2dbd007037/ueq02.gif"></p> <p>从而确定算法上颜色的细化算法是否有效<em>区分G</em>而且<em>H</em>的不相交并集上运行颜色细化算法<em>G</em>而且<em>H</em>并决定是否有颜色<em>c</em>这在两个图中出现的次数不同。</p> <p>如果颜色细化算法不区分<em>G</em>而且<em>H</em>,我们写<em>G</em><em>H。</em>请注意,</p> <p><img alt="ueq03.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/02cd8c81-4a02-40da-b737-53f2e7000bee/ueq03.gif"></p> <p>对所有的图表<em>G</em>而且<em>H。</em>不幸的是，反向的含义并不成立。例如，尽管两个图形是非同构的，但颜色细化算法并不区分两个三角形的不相交并集和一个长度为6的循环。</p> <p>尽管颜色细化算法很简单，但它可以作为大量图的完全同构测试。我们称之为颜色优化算法<em>标识</em>一个图表<em>G</em>如果它区别<em>G</em>从每一个非同构图<em>H。</em>例如，我们知道颜色细化算法几乎肯定地识别随机图。</p> <p>再加上它的效率，使得颜色优化算法成为GI背景下流行的子程序，在许多实际和理论算法中都得到了应用。</p> <p><img alt="＊" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>2.2.的<em>k</em>维算法</strong></p> <p>虽然颜色细化算法通常用作完全同构检验，但其能力仍然受到很大限制。例如，给定任意两个<em>d</em>正则图<em>G</em>而且<em>H</em>，颜色细化算法不区分<em>G</em>而且<em>H。</em>的<em>Weisfeiler-Leman算法</em>提供对颜色细化算法的扩展，该算法不只是为单个顶点着色<em>k</em>-顶点的元组，用于固定的数量<em>k。</em>这给了算法额外的表达能力增加的值<em>k</em>，但代价是计算复杂度更高。</p> <p>让<em>G</em>是一个图，让<em>k</em>∈n .的<em>k维Weisfeiler-Leman算法</em>（<em>k</em>-WL)是一个过程，给定一个图<em>G</em>的同构不变初始着色<em>k</em>-顶点的元组，然后以同构不变的方式迭代地改进这种颜色。一维weisfeler - leman算法与上述颜色细化算法完全对应。</p> <p>对于高维算法的描述，请固定<em>k</em>≥2，令<em>G</em>= (<em>V</em>，<em>E</em>)是一个图表。最初的颜色<我米g alt="cacm6405_ac.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/78f17a35-17af-4dfd-8ac9-c8d94251e6b0/cacm6405_ac.gif">计算<em>k</em>-WL决定每个∈<em>V</em><sup><em>k</em></sup>底层有序诱导子图的同构型。更准确地说,<我米g alt="cacm6405_ad.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/74f52128-461e-429c-bee7-9c6937b80d0b/cacm6405_ad.gif">如果对所有<em>我</em>，<em>j</em>∈(<em>k</em>它拥有<em>v<sub>我</sub></em>＝<em>v<sub>j</sub></em>当且仅当<em>w<sub>我</sub></em>＝<em>w<sub>j</sub></em>,<em>v</em><sub><em>我</em></sub><em>v</em><sub><em>j</em></sub>∈<em>E</em>当且仅当<em>w</em><sub><em>我</em></sub><em>w</em><sub><em>j</em></sub>∈<em>E</em>．初始着色是通过迭代计算着色来改进的<我米g alt="cacm6405_ae.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/e075bfb6-e1b7-4ca0-9d84-dc42d7442e08/cacm6405_ae.gif">为<em>我</em>> 0。= (<em>v</em><sub>1</sub>、……<em>v</em><sub><em>k</em></sub>),<em>w</em>∈<em>V</em>,让<em>我</em>/<em>w</em>: = (<em>v</em><sub>1</sub>、……<em>v</em><sub><em>我</em>−1</sub>，<em>w</em>，<em>v</em><sub><em>我</em>＋1</sub>、……<em>v</em><sub><em>k</em></sub>的元组<em></em>通过替换<em>我</em>-th项with vertex<em>w。</em>现在我们定义<我米g alt="cacm6405_af.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/fce58920-fd73-4ad1-b500-7cdfdf416feb/cacm6405_af.gif">在哪里</p> <p><img alt="ueq04.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/71203d62-5cc2-4f25-8de3-9336b1944235/ueq04.gif"></p> <p>从颜色的定义，很明显<我米g alt="cacm6405_ag.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/4748b7d8-6130-4ed6-8aa0-6033a32dfe67/cacm6405_ag.gif">．现在我们<em>我</em><sup>＊</sup>∈N是这样的最小值<我米g alt="cacm6405_ah.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/9c4a352e-4ac7-406d-8529-7d320c6b81e1/cacm6405_ah.gif">．对于这个<em>我</em><sup>＊</sup>,着色<我米g alt="cacm6405_ai.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/de769c20-39da-4d7a-be67-b3912be92860/cacm6405_ai.gif">被称为<em>稳定的</em>着色的<em>G</em>关于<em>k</em>-WL，表示为<em>X<sup>G、k</sup></em>．</p> <p>举个例子，颜色<em>X</em><sup><em>G</em>，2</sup>在哪里<em>G</em>是否描述了长度为9的循环<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/e2c36e6e-1dba-4976-95f1-f8b6cd69cb74/f3.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=363,height=358'); return false;">图3</一个>．</p> <p><img alt="f3.jpg" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/e2c36e6e-1dba-4976-95f1-f8b6cd69cb74/f3.jpg"><br><strong>图3。2-WL在长度为9的循环上的稳定着色。在本例中，χ<sup><em>G</em>，2</sup>（<em>v</em>，<em>w</em>) =χ<sup><em>G</em>，2</sup>（<em>w</em>，<em>v</em>)为所有<em>v</em>，<em>w</em>∈<em>V</em>（<em>G</em>)，因此，所有颜色都由无向边表示。</strong></p> <p>的<em>k维Weisfeiler-Leman算法</em>接受一个图作为输入<em>G</em>然后计算(一种颜色相当于)<em>X<sup>G、k</sup></em>．</p> <p>定理5 (Immerman和Lander<sup><a href="#R17">17</一个></sup>)．<em>设G是一个图。然后，等价于X的同构不变着色<sup>G、k</sup>可以在时间O</em>（<em>n</em><sup><em>k</em>＋1</sup>日志<em>n</em>)．</p> <p>我们扩展了为颜色细化算法引入的符号。的<em>k</em>维Weisfeiler-Leman算法<em>区分</em>两个图形<em>G</em>而且<em>H</em>如果有颜色的话<em>c</em>这样|(χ<sup><em>G</em>，<em>k</em></sup>）<sup>−1</sup>（<em>c</em>(χ)|≠|<sup><em>H</em>，<em>k</em></sup>）<sup>−1</sup>（<em>c</em>) |。在这种情况下是这样的<em>G</em>而且<em>H</em>nonisomorphic。两个图形<em>G</em>而且<em>H</em>是<em>等效</em>关于<em>k</em>- wl,用<em>G</em><sub><em>k</em></sub><em>H</em>，如果他们没有被区分<em>k</em>- wl。一个图表<em>G</em>是<em>确认</em>通过<em>k</em>- wl如果<em>G</em><sub><em>k</em></sub><em>H</em>当且仅当<em>G</em>≅<em>H</em>对所有的图表<em>H。</em>的<em>Weisfeiler-Leman维度</em>的图<em>G</em>是最小的数<em>k</em>∈N<em>k</em>- wl标识<em>G。</em></p> <p><img alt="＊" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>2.3.一个卵石游戏</strong></p> <p>当与weisfeler - leman算法的定义直接争论时，提供某些图的weisfeler - leman维的上界通常是相当复杂的。实际上，利用weisfeler - leman算法的其他特性来完成这项任务通常更方便。特别地，下面的卵石博弈被认为可以捕获与weisfeler - leman算法相同的信息。</p> <p>让<em>k</em>∈<em>N。</em>对图<em>G</em>，<em>H</em>在相同数量的顶点上，我们定义<em>双射k-pebble游戏</em>英国石油公司<sub><em>k</em></sub>（<em>G</em>，<em>H</em>)如下:</p> <ul> <li>游戏中有两名玩家，分别是破坏者和复制者。</li> <li>游戏按回合进行。每一轮都与一对头寸相关<我米g alt="cacm6405_aj.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/7ec8aab9-fd9c-4771-9518-280c0691e0ed/cacm6405_aj.gif">与<em></em>∈<em>V</em>（<em>G</em>）<sup><em>ℓ</em></sup>而且<我米g alt="cacm6405_ak.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/b4b36e93-9a86-4336-ba91-fe1759511512/cacm6405_ak.gif">在0≤<em>ℓ</em>≤<em>k</em>．</li> <li>游戏的初始位置是(()，())(空元组对)。</li> <li>每一轮包含以下步骤:假设游戏已经就位<我米g alt="cacm6405_al.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/7a83082e-eecd-4969-9bbf-a41a61417f6b/cacm6405_al.gif">．首先，扰流器选择是否移除一对鹅卵石或玩一对新的鹅卵石。第一种选择只有在<em>ℓ</em>> 0，后一个选项只有在<em>ℓ</em><<em>k。</em></li> </ul> <ul> <li>如果破坏者想要移走一对鹅卵石，他会摘一些<em>我</em>∈(<em>ℓ</em>然后游戏移动到位置<我米g alt="cacm6405_am.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/981ef767-796c-4358-9b17-6ebfae08d53d/cacm6405_am.gif">在\<em>我</em>: = (<em>v</em><sub>1</sub>、……<em>v</em><sub><em>我</em>−1</sub>，<em>v</em><sub><em>我</em>＋1</sub>、……<em>v</em><sub><em>ℓ</em></sub>) (<我米g alt="cacm6405_an.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/87fea778-3171-46f2-9532-7dd44ba419bd/cacm6405_an.gif">以相同的方式定义)。</li> <li>否则，将打出一对新的鹅卵石，并执行以下步骤:</li> <li>(D)复印机选择双射<em>f</em>：<em>V</em>（<em>G</em>)→<em>V</em>（<em>H</em>)．</li> <li>扰流器选择<em>v</em>∈<em>V</em>（<em>G</em>)和集<em>w</em>: =<em>f</em>（<em>v</em>)．</li> <li>新职位是(<em>v</em><sub>1</sub>、……<em>v</em><sub><em>ℓ</em></sub>，<em>v</em>)，（<em>w</em><sub>1</sub>、……<em>w</em><sub><em>ℓ</em></sub>，<em>w</em>))。</li> <li>如果为当前位置，扰流者获胜<我米g alt="cacm6405_ao.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/217cde23-0d1c-4826-b6e4-395e6d536e4a/cacm6405_ao.gif">诱导图不是同构的。更准确地说，如果有，剧透者就赢了<em>我</em>，<em>j</em>∈(<em>ℓ</em>),这样<em>v</em><sub><em>我</em></sub>＝<em>v</em><sub><em>j</em></sub><em>w</em><sub><em>我</em></sub>＝<em>w</em><sub><em>j</em></sub>或<em>v</em><sub><em>我</em></sub><em>v</em><sub><em>j</em></sub>∈<em>E</em>（<em>G</em>）<em>w</em><sub><em>我</em></sub><em>w</em><sub><em>j</em></sub>∈<em>E</em>（<em>H</em>)．如果游戏永远不会结束，复制人赢。</li> </ul> <p>我们说扰流器(resp。复印机)<em>赢得双射k卵石游戏</em>英国石油公司<sub><em>k</em></sub>（<em>G</em>，<em>H</em>如果剧透(resp.)(《Duplicator》)有一个游戏的制胜策略。</p> <p>此外,申请的职位<我米g alt="cacm6405_ap.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/d889f5ab-7e10-47e5-ad6e-c59dedbe5b38/cacm6405_ap.gif">扰流板(分别地。复印机)<em>赢得了比赛</em>英国石油公司<sub><em>k</em></sub>（<em>G</em>，<em>H</em>）<em>从位置</em><img alt="cacm6405_aq.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/0fe92e36-e53c-4f5c-9751-e6adae1fc99d/cacm6405_aq.gif">如果剧透(分别地。在游戏BP中有一个制胜策略<sub><em>k</em></sub>（<em>G</em>，<em>H</em>)从初始位置开始<我米g alt="cacm6405_ar.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/472ed49f-6cec-4393-9a32-0edb4da5191d/cacm6405_ar.gif">．</p> <p>下一个定理连接了双射<em>k</em>-卵石博弈到weisfeler - leman算法。</p> <p>定理6 (Cai等。<sup><a href="#R2">2</一个></sup>)．<em>让克</em>，<em>H是两个图，让</em>∈<em>V</em>（<em>G</em>）<sup><em>k</em></sup><em>而且<我米g alt="cacm6405_as.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/1c458c3d-2846-41a9-be66-c7f0518a3bdd/cacm6405_as.gif">．然后<我米g alt="cacm6405_at.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/fdbd3c8b-3998-47c3-af0d-16b480caec62/cacm6405_at.gif">当且仅当复制人赢了卵石游戏</em>英国石油公司<sub><em>k</em>＋1</sub>（<em>G</em>，<em>H</em>）<em>的立场</em><img alt="cacm6405_au.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/75658936-cc86-48e3-8007-8dd4bcabd908/cacm6405_au.gif">．</p> <p>推论7。<em>设G和H是两个图。然后G</em><sub><em>k</em></sub><em>H当且仅当复制人赢了卵石游戏</em>英国石油公司<sub><em>k</em>＋1</sub>（<em>G</em>，<em>H</em>)．</p> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p> <p><a name="body-4"></a></p> <h3>3.排名宽度</h3> <p>秩宽是由Oum和Seymour首先提出的一个图不变量<sup><a href="#R21">21</一个></sup>它衡量的是某种图形层次分解的宽度。直观地说，目标是以分层的方式，沿着低复杂度的切面重复分割图的顶点集。对于秩宽度，一个切口的复杂度是用捕获切口两边在2元场F上的邻接矩阵的秩来衡量的<sub>2</sub>．</p> <p>让<em>G</em>是一个图。为<em>X</em>，<em>Y</em>⊆<em>V</em>（<em>G</em>),我们定义<我米g alt="cacm6405_av.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/3e7edc8a-456b-42cd-8945-485fc8924970/cacm6405_av.gif">(在哪里<em>米</em>（<em>X</em>，<em>Y</em>）)<sub><em>x</em>，<em>y</em></sub>= 1当且仅当<em>xy</em>∈<em>E</em>（<em>G</em>)．此外,<我米g alt="cacm6405_aw.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/25c215b4-a995-47a6-8e5e-1b5547b9f972/cacm6405_aw.gif">在哪里<我米g alt="cacm6405_ax.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/033eb0c0-6d7f-4149-81eb-701354059c2c/cacm6405_ax.gif">和rk<sub>2</sub>（<em>一个</em>)表示F<sub>2</sub>矩阵的-秩<em>一个。</em></p> <p>一个<em>秩分解</em>的<em>G</em>是一个元组(<em>T</em>，<em>γ</em>)由二叉有向树组成<em>T</em>和一个映射<em>γ</em>：<em>V</em>（<em>T</em>)→2<sup><em>V</em>（<em>G</em>）</sup>这样</p> <p>(R.1)<em>γ</em>（<em>r</em>) =<em>V</em>（<em>G</em>),<em>r</em>是的根<em>T</em>，</p> <p>(R.2)<em>γ</em>（<em>t</em>）＝<em>γ</em>（<em>t</em><sub>1</sub>)∪<em>γ</em>（<em>t</em><sub>2</sub>),<em>γ</em>（<em>t</em><sub>1</sub>)∩<em>γ</em>（<em>t</em><sub>2</sub>)对于所有内部节点=/<em>t</em>∈<em>V</em>（<em>T</em>有孩子的)<em>t</em><sub>1</sub>而且<em>t</em><sub>2</sub>,</p> <p>(R.3) |<em>γ</em>（<em>t</em>)| = 1为所有<em>t</em>∈<em>l</em>（<em>T</em>),<em>l</em>（<em>T</em>)表示树的叶的集合<em>T。</em></p> <p>注意，不要给予<em>γ</em>，我们可以等价地指定一个双射<em>f</em>：<em>l</em>（<em>T</em>)→<em>V</em>（<em>G</em>)(这完全说明了<em>γ</em>按条件(R.2))。的<em>宽度</em>的秩分解(<em>T</em>，<em>γ</em>)是</p> <p><img alt="ueq05.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/439e4a98-0693-4734-a980-d08796328f79/ueq05.gif"></p> <p>一个图的秩宽<em>G</em>是</p> <p><img alt="ueq06.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a91e2c85-a3fb-41d0-8507-90f4c89747e1/ueq06.gif"></p> <p>图表的例子<em>G</em>的秩分解<em>G</em>提供了<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/db0e9486-aeca-46f9-a18b-0e94865abe86/f1.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=708,height=300'); return false;">图1</一个>和(更详细)<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/e9f304a0-adcd-4f9e-9d17-1bda69461838/f4.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=1093,height=386'); return false;">图4</一个>．</p> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/e9f304a0-adcd-4f9e-9d17-1bda69461838/f4.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=1093,height=386'); return false;"><img alt="f4.jpg" height="147" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/e9f304a0-adcd-4f9e-9d17-1bda69461838/f4.jpg" width="415"></a><br><strong>图4。一个图表<em>G</em>在左边和一个潜在的秩分解<em>G</em>右边的宽度为3。举个例子，矩阵<em>米</em>({6,7,8,9,10}，{1,2,3,4,5})。请注意,<em>ρ</em><sub><em>G</em></sub>({6,7,8,9,10]) = 3。</strong></p> <p>小团体的宽度<sup><a href="#R5">5</一个></sup>是另一种旨在描述图的结构复杂性的度量。它基于一种自然的图语法。</p> <p>为<em>k</em>∈N,<em>k-graph</em>是一对(<em>G</em>、实验室)<em>G</em>是一个图表和实验室:<em>V</em>（<em>G</em>)→<em>k</em>是顶点的标记。我们定义了以下四个操作<em>k</em>图:</p> <ol> <li>为<em>我</em>∈(<em>k</em>),让•<sub><em>我</em></sub>用标签表示一个孤立的顶点<em>我。</em></li> <li>为<em>我</em>，<em>j</em>∈(<em>k</em>)与<em>我</em>≠<em>j</em>，我们定义η<sub><em>我,我</em></sub>（<em>G</em>，实验室):= (<em>G’</em>、实验室)<em>V</em>（<em>G</em>): =<em>V</em>（<em>G’</em>),<em>E</em>（<em>G’</em>): =<em>E</em>（<em>G</em>)∪{<em>大众</em>|实验室(<em>v</em>) =<em>我</em>∧实验室(<em>w</em>) =<em>j</em>}。</li> <li>为<em>我</em>，<em>j</em>∈(<em>k</em>),我们定义<em>ρ</em><sub><em>我</em>→<em>j</em></sub>（<em>G</em>，实验室:= (<em>G</em>、实验室”)<我米g alt="cacm6405_ay.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/335647a4-62fa-4e4b-afa8-a0ebdc1fe7e8/cacm6405_ay.gif">．</li> <li>有两个<em>k</em>图(<em>G</em>，实验室)和(<em>G’</em>， lab')，我们定义(<em>G</em>，实验室)⊕(<em>G’</em>， lab’)是两者的分离的结合<em>k</em>图表。</li> </ol> <p>一个<em>k-expression t</em>这些符号和定义的表达式是否格式良好<em>k</em>图(<em>G</em>、实验室)。在这种情况下,<em>t</em>是一个<em>k</em>表达式为<em>G。</em>图的团宽<em>G</em>，表示为cw(<em>G</em>)，为最小值<em>k</em>∈N，使得有一个<em>k</em>表达式为<em>G。</em></p> <p><em>例1。</em>表达式</p> <p><img alt="ueq07.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/1733d10a-badd-41d0-abf9-fb9eb38ae31f/ueq07.gif"></p> <p>图的2表达式在吗<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/db0e9486-aeca-46f9-a18b-0e94865abe86/f1.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=708,height=300'); return false;">图1</一个>．“常数”的颜色<sub><em>我</em></sub>指出它们对应于图中的哪个节点。</p> <p>比较派系宽度和等级宽度，每个参数都是有界的。<sup><a href="#R21">21</一个></sup>更准确地说，是每一张图<em>G</em>，它认为</p> <p><img alt="eq01.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/7ddf8454-a91c-468f-bfe4-239e5081c8e5/eq01.gif"></p> <p>另外，一个图的秩宽<em>G</em>是否以树的宽度为界<em>G</em>，用tw(<em>G</em>rw), (<em>G</em>)≤太瓦(<em>G</em>) + 1。注意，图的树宽度不能根据其秩宽度有界。例如，完整的图形上<em>n</em>顶点<em>K<sub>n</sub></em>列宽rw(<em>K<sub>n</sub></em>) = 1和树宽度tw(<em>K<sub>n</sub></em>) =<em>n</em>−1。</p> <p><img alt="＊" src="https://dl.acm.org/images/bullet.gif"><strong>3.1秩宽有界图的WL维数</strong></p> <p>该工作的第一个主要结果限定了秩宽最多图的weisfeler - leman维数<em>k</em>通过一个线性函数<em>k。</em></p> <p>定理8。<em>的</em>(3<em>k</em>+ 4) -<em>维维weisfeler - leman算法识别秩宽不超过k的每一个图。</em></p> <p>注意，由式(1)，同样的结果及其所有结果也适用于最多团宽的图<em>k。</em></p> <p>在本节的其余部分，我们提供定理8证明的一个高级草图。我们需要证明，对于每两个非同构图<em>G</em>而且<em>H</em>这样rw (<em>G</em>)≤<em>k</em>, (3<em>k</em>+ 4)维威斯菲勒-勒曼算法之间的区分<em>G</em>而且<em>H。</em>利用<em>k</em>-WL在卵石游戏方面(见推论7)，它实际上足以表明扰流者赢得了双射{3<em>k</em>+ 5)卵石游戏BP<sub>3.<em>k</em>+ 5</sub>（<em>G</em>，<em>H</em>)．</p> <p>为了描述剧透者的策略，让我们修改输入图<em>G</em>而且<em>H</em>以及一些秩分解(<em>T</em>，<em>γ</em>)<em>G</em>宽度的最大值<em>k。</em>扰流器的基本思想是沿着等级分解<em>G</em>以向下的方式，以便将两个输入图之间的“差异”限制在图的越来越小的区域。更准确地说，对于他的策略，剧透者保持了集合<em>X</em><sub><em>G</em></sub>⊆<em>V</em>（<em>G</em>),<em>X</em><sub><em>H</em></sub>⊆<em>V</em>（<em>H</em>)和顶点<我米g alt="cacm6405_az.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/7e46a804-c06b-414a-99c2-85b1dc65c0be/cacm6405_az.gif">而且<我米g alt="cacm6405_ba.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/03966e9a-3ac1-410f-98a2-f2af0f8d734e/cacm6405_ba.gif">在哪里<em>p</em>≤<em>k</em>没有同构的:<em>G</em>［<em>X</em><sub><em>G</em></sub>)→<em>H</em>［<em>X</em><sub><em>H</em></sub>)与<我米g alt="cacm6405_bb.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/c4e93bb2-2d86-4f67-9b1a-6f5d610a6107/cacm6405_bb.gif">而且<我米g alt="cacm6405_bc.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/2f108678-855f-4b44-9889-b18267bf6576/cacm6405_bc.gif">(<em>G</em>［<em>X<sub>G</sub></em>),<em>H</em>［<em>X<sub>H</sub></em>表示顶点集上的诱导子图<em>X<sub>G</sub></em>而且<em>X<sub>H</sub></em>)．通过逐渐减少集合的大小<em>X<sub>G</sub></em>，剧透者最终赢得游戏，因为，一旦|<em>X<sub>G</sub></em>|≤2<em>k</em>+ 1，整个集合<em>X<sub>G</sub></em>可以铺。</p> <p>演出期间，布景<em>X<sub>G</sub></em>本质上对应于集合<em>γ</em>（<em>t</em>),<em>t</em>∈<em>V</em>（<em>T</em>的秩分解的一个节点<em>G</em>在哪里，随着戏的进展，扰流器移动的等级分解，以强制减少规模的集合<em>X<sub>G</sub></em>．最初,<em>X<sub>G</sub></em>: =<em>V</em>（<em>G</em>)，<em>X<sub>H</sub></em>=：<em>V</em>（<em>H</em>)，<em>p</em>= 0,<em>t</em>的秩分解的根节点是<em>G。</em></p> <p>为了在等级分解中强制下降，扰流者的目标是移动到两个子元素中的一个<em>t</em><sub>1</sub>，<em>t</em><sub>2</sub>的<em>t</em>在秩分解中(<em>T</em>，<em>γ</em>)．为了维护上面描述的不变量，有必要“拆分”<em>γ</em>（<em>t</em><sub>1</sub>)<em>γ</em>（<em>t</em><sub>2</sub>)在图中<em>G</em>这样两个集合之间就不存在依赖关系了。这使得扰流器可以将两个输入图之间的“差异”限制在两边之一。为了实现“分割”，我们引入了a的概念<em>对分裂。</em></p> <p>让<em>G</em>是一个图形<em>X</em>⊆<em>V</em>（<em>G</em>)．为<em>v</em>，<em>w</em>∈<em>X</em>,我们定义<em>v</em>≈<sub><em>X</em></sub><em>w</em>如果<我米g alt="cacm6405_bd.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/d260f719-b071-41c3-9c34-30421695c506/cacm6405_bd.gif">．为<em>v</em>∈<em>X</em>，我们定义这个向量<我米g alt="cacm6405_be.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/cfd3404a-e58c-4599-b4fe-0d31720bd88f/cacm6405_be.gif">在哪里<em>一个</em><sub><em>v</em>，<em>w</em></sub>= 1当且仅当<em>大众</em>∈<em>E</em>（<em>G</em>)．请注意,<em>v</em>≈<sub><em>X</em></sub><em>w</em>当且仅当vec<sub><em>x</em></sub>（<em>v</em>) = vec<sub><em>x</em></sub>（<em>w</em>)．此外,对于<em>一个</em>⊆<em>X</em>，我们定义vec<sub><em>x</em></sub>（<em>一个</em>) = {ven<sub><em>X</em></sub>（<em>v</em>) |<em>v</em>∈<em>一个</em>}。</p> <p>对于任何向量的集合<我米g alt="cacm6405_bf.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/ce24c8ae-d388-4310-825e-70964d65aa1b/cacm6405_bf.gif">，我们用<em>年代</em>由张成的线性空间<em>年代。</em>一组<我米g alt="cacm6405_bg.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/effa29f9-573c-4e2b-b803-1445935df3df/cacm6405_bg.gif">是一个<em>线性的基础</em><em>年代</em>如果<em>B</em>是线性无关的<em>B</em>＝<em>年代</em>．</p> <p><em>定义1。</em>让<em>G</em>是一个图形<em>X</em>是一个图形<em>V</em>（<em>G</em>)．一对(<em>一个</em>，<em>B</em>)是一个<em>X对分离</em>如果</p> <ol> <li><em>一个</em>⊆<em>X</em>而且<我米g alt="cacm6405_bh.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/6a1ba944-a437-4624-9a4d-334d0c1f3ffe/cacm6405_bh.gif">，</li> <li>vec<sub><em>x</em></sub>（<em>一个</em>)构成了ven的线性基<sub><em>x</em></sub>（<em>X</em>),</li> <li><img alt="cacm6405_bi.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/8af35a00-22af-49ce-a590-d8480b4e37d4/cacm6405_bi.gif">形成一个线性基<我米g alt="cacm6405_bj.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/5cb9d8c9-3b5e-4558-b1db-7471c20b305c/cacm6405_bj.gif">．</li> </ol> <p>请注意,|<em>一个</em>| =<em>ρ</em><sub><em>G</em></sub>（<em>X</em>)和|<em>B</em>| =<em>ρ</em><sub><em>G</em></sub>（<em>X</em>)．还要注意if (<em>一个</em>，<em>B</em>)是一对分裂的<em>X</em>然后(<em>B</em>，<em>一个</em>)是一对分裂的<我米g alt="cacm6405_bk.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/aefb4989-5f74-42dc-9d68-7b8d2206dd71/cacm6405_bk.gif">．作为一种特殊情况，pair(/，/)被定义为for的分裂pair<em>X</em>＝<em>V</em>（<em>G</em>)．一个<em>X的有序分裂对</em>是一对<我米g alt="cacm6405_bl.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/5ed143f6-5c84-437f-8faf-33e47df32eef/cacm6405_bl.gif">这样({<em>一个</em><sub>1</sub>、……<em>一个</em><sub><em>p</em></sub>}, {<em>b</em><sub>1</sub>、……<em>b</em><sub><em>p</em></sub>})是对的分裂对<em>X。</em></p> <p>现在关于分离对的核心主张是，在有序的分离对中添加鹅卵石<我米g alt="cacm6405_bm.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/ac16deba-5e56-4adc-a615-ed684506e6a8/cacm6405_bm.gif">为<em>X</em>呈现<em>X</em>独立于它的补体。为了可视化这种独立性，我们使用了颜色细化算法。为此，我们定义<我米g alt="cacm6405_bn.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/d79c28c3-8999-40b0-addd-9538c0834e05/cacm6405_bn.gif">是用颜色细化算法在图上计算的着色<em>G</em>所有顶点<em>一个</em><sub>1</sub>、……<em>一个<sub>p</sub></em>，<em>b</em><sub>1</sub>、……<em>b<sub>p</sub></em>是<em>个性化的</em>最初(也就是说，列出的每个顶点都被分配了一个与所有其他顶点的颜色不同的新颜色)。此外，我们考虑了a的概念<em>翻转功能</em>这允许我们在颜色的某些颜色类之间翻转边缘<我米g alt="cacm6405_bo.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/c7bd961f-82ad-4b17-b107-cdcf8d92cb77/cacm6405_bo.gif">．</p> <p><em>定义2。</em>让<em>G</em>= (<em>V</em>，<em>E</em>)是一个图表和<em>X</em><em>V</em>→<em>C</em>顶点的颜色。一个<em>G的翻转函数</em>是一个映射<em>f</em>：<em>C</em>×<em>C</em>→{0,1}这样<em>f</em>（<em>c</em>，<em>c</em>') =<em>f</em>（<em>c</em>”,<em>c</em>)为所有<em>c</em>，<em>c '</em>∈<em>C。</em></p> <p>对于翻转函数<em>f</em>，我们定义翻转图<em>G<sup>f</sup></em>= (<em>V</em>，<em>E<sup>f</sup></em>),</p> <p><img alt="ueq08.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/6af63873-490e-4c80-8eb0-37591b6b2f5f/ueq08.gif"></p> <p>下面的引理给出了拆分的关键工具<em>X</em>从它的补充。对于一个图<em>G</em>一个翻转函数<em>f</em>,让Comp (<em>G</em>，<em>f</em>)⊆2<sup><em>V</em>（<em>G</em>）</sup>的连接分量的顶点集合<em>G<sup>f</sup></em>．观察到Comp (<em>G</em>，<em>f</em>的顶点集的一个分区<em>G。</em></p> <p>引理9。<em>让克</em>= (<em>V</em>，<em>E</em>）<em>是一个图和X</em>⊆<em>诉也让</em><img alt="cacm6405_bp.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/2f46e44a-da61-4388-85ef-90a6e9a628b5/cacm6405_bp.gif"><em>是X的有序分裂对。</em></p> <p><em>然后有一个翻转函数f对应于有颜色的图G<我米g alt="cacm6405_bo.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/c7bd961f-82ad-4b17-b107-cdcf8d92cb77/cacm6405_bo.gif">这样每一个C</em>∈Comp (<em>G</em>，<em>f</em>）<em>它认为C</em>⊆<em>X或</em><img alt="cacm6405_bq.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/9036f932-6af3-40c1-975b-3468f1e99c11/cacm6405_bq.gif">．</p> <p>这个过程在<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/7f8aaf18-8e37-4261-bab4-eef0704e79a9/f5.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=662,height=675'); return false;">图5</一个>将示例作为输入<一个href="https://dl.acm.org/cms/attachment/db0e9486-aeca-46f9-a18b-0e94865abe86/f1.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=708,height=300'); return false;">图1</一个>．</p> <p><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/7f8aaf18-8e37-4261-bab4-eef0704e79a9/f5.jpg" onclick="window.open(this.href, '', 'resizable=yes,status=no,location=no,toolbar=no,menubar=no,fullscreen=no,scrollbars=no,dependent=no,width=662,height=675'); return false;"><img alt="f5.jpg" height="423" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/7f8aaf18-8e37-4261-bab4-eef0704e79a9/f5.jpg" width="415"></a><br><strong>图5。为了分裂<em>X</em>从它在图中的补<em>G</em>(左上)，我们个性化一个拆分对(右上)，计算着色<我米g alt="cacm6405_bo.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/c7bd961f-82ad-4b17-b107-cdcf8d92cb77/cacm6405_bo.gif">使用颜色细化算法(左下)，并对图应用合适的翻转函数(右下)。</strong></p> <p>由于对两个输入图形应用翻转函数既不会改变同构问题也不会改变双射卵石博弈的结果，扰流器可以简单地假装他在玩游戏<em>G<sup>f</sup></em>而且<em>H<sup>f</sup></em>而不是<em>G</em>而且<em>H。</em>为<em>G<sup>f</sup></em>而且<em>H<sup>f</sup></em>，扰流器现在可以限制游戏到两个图形的一对连接组件<em>X<sub>G</sub></em>⊆<em>V</em>（<em>G</em>),<em>X<sub>H</sub></em>⊆<em>V</em>（<em>H</em>)，通过在两个组件上放置一个鹅卵石来标记它们。</p> <p>现在，为了迫使等级分解中的一个下降步骤，扰流器鹅卵石为集合分裂成对<em>γ</em>（<em>t</em><sub>1</sub>),<em>γ</em>（<em>t</em><sub>2</sub>)，以便使这些集合独立于图的其他部分。这允许扰流器跟踪两个输入图之间的差异到两个集合中的一个。</p> <p>这几乎完成了下降步骤。事实上，扰流器唯一剩下的任务就是从前面的步骤中移除所有鹅卵石，以确保所需鹅卵石的数量不超过3个<em>k</em>+ 5。特别是，在顶点上放置的鹅卵石为一对劈开的<em>γ</em>（<em>t</em>)需要移除。</p> <p>然而，不可能简单地移除这些鹅卵石，因为通过上面描述的不变量，集合<em>X<sub>G</sub></em>而且<em>X<sub>H</sub></em>只有当<我米g alt="cacm6405_br.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/5b1cc6fb-1ed7-49f3-b6cf-85e26de9de67/cacm6405_br.gif">以及<我米g alt="cacm6405_bs.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/2b944324-2955-45c9-9852-8bf0e2f42da2/cacm6405_bs.gif">鹅卵石(这些顶点需要临时固定，以允许引理9的应用)。为了规避这个问题，我们引入<em>不错的</em>分裂对的三倍。</p> <p><em>定义3。</em>让<em>G</em>是一个图形<em>X</em>，<em>X</em><sub>1</sub>，<em>X</em><sub>2</sub>⊆<em>V</em>（<em>G</em>),这样<em>X</em>＝<em>X</em><sub>1</sub>∪<em>X</em><sub>2</sub>而且<em>X</em><sub>1</sub>∩<em>X</em><sub>2</sub>= /。让(<em>一个</em>，<em>B</em>是一对分裂的<em>X</em>我们(<em>一个<sub>我</sub></em>，<em>B<sub>我</sub></em>)被分成两对<em>X<sub>我</sub></em>，<em>我</em>∈{1,2}。我们说(<em>一个<sub>我</sub></em>，<em>B<sub>我</sub></em>)，<em>我</em>∈{1,2}，为<em>很好(就…而言</em>（<em>一个</em>，<em>B</em>）<em>）</em>如果</p> <ol> <li><em>一个</em>∩<em>X</em><sub><em>我</em></sub>⊆<em>一个</em><sub><em>我</em></sub>,</li> <li><em>B</em><sub>3−<em>我</em></sub>∩<em>X</em><sub><em>我</em></sub>⊆<em>一个</em><sub><em>我</em></sub>对于这两个<em>我</em>∈{1,2}。</li> </ol> <p>自然地，如果底层的无序拆分对三元组是好的，则有序拆分对三元组是好的。</p> <p>直观地说，在执行下降步骤时，拆分对的漂亮三元组强制所有考虑的拆分对的显著重叠。这使得扰流器可以从上一个下降步骤中移除卵石，而不需要在其中解卵石任何顶点<em>X<sub>G</sub></em>或<em>X<sub>H</sub></em>．下面的引理保证了分离对的三元组的存在。</p> <p>引理10。<em>设G是一个图，X是</em>，<em>X</em><sub>1</sub>，<em>X</em><sub>2</sub>⊆<em>V</em>（<em>G</em>）<em>使得X</em>＝<em>X</em><sub>1</sub>∪<em>X</em><sub>2</sub><em>和X</em><sub>1</sub>∩<em>X</em><sub>2</sub>= /。<em>让</em>（<em>一个</em>，<em>B</em>）<em>是一对分开的x，然后有很好的分开的x</em>（<em>一个<sub>我</sub></em>，<em>B<sub>我</sub></em>）<em>X<sub>我</sub>对于我</em>∈{1,2}。</p> <p>因此，在所有步骤中，扰流器可以发挥一个很好的三重拆分对，并简单地在完成下降步骤后删除任何不需要的鹅卵石，同时保留上面给出的不变式。这就完成了策略的描述。</p> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p> <p><a name="body-5"></a></p> <h3>4.描述性的复杂性</h3> <p>描述复杂度理论旨在从逻辑可定义性的角度描述计算复杂度，即将空间和时间等计算资源与递归机制或量词交替等语言资源联系起来。该领域最著名的结果是费金定理<sup><a href="#R7">7</一个></sup>说明存在二阶逻辑捕获NP，也就是说，当且仅当图(或其他结构)的一个属性在存在二阶逻辑中可定义时，它在非确定性多项式时间内是可判定的。最著名的开放问题，可以追溯到钱德拉和哈雷尔那篇有影响力的论文<sup><a href="#R3">3.</一个></sup>数据库查询语言，由Gurevich推广，<sup><a href="#R13">13</一个></sup>询问是否有捕获PTIME(多项式时间)的逻辑。下面，我们将简要介绍描述复杂性的相关概念和结果。关于更多的背景，我们建议读者参考现有的文献(例如，艾宾浩斯和弗洛姆<sup><a href="#R6">6</一个></sup>)．</p> <p>在描述复杂性理论中，计算问题通常使用有限的关系结构建模，例如，图。决策问题就是<em>产权结构的</em>，即在同构下封闭的一类结构。同构下的闭包很重要，因为它意味着性质是同构不变的。例如，“图是连通的”是一个有效的属性，而“第一个顶点有3次”则不是，因为图没有定义良好的“第一个顶点”。一个<em>抽象的逻辑</em>L是一组简单的句子，结构与句子之间存在满意关系。抽象逻辑L<em>捕捉</em>PTIME如果(i)它具有可判定的语法(句子集是有限字母上的可判定字符串集);(ii)它具有ptime可决定的语义，即存在一种算法，给定一个L的句子和一个结构<em>一个</em>,决定如果<em>一个</em>满足时间多项式的大小<em>一个</em>；以及(iii)每个可在ptime内决定的属性<em>P</em>的结构在L中是可定义的，也就是说，有一个L的句子恰好满足了那些具有性质的结构<em>P</em>．我们说L捕获了PTIME<em>C类结构</em>如果所有属性都满足条件(iii)<em>P</em>⊆<em>C。</em></p> <p>尽管有很好的理由以这种方式定义一个捕获PTIME的抽象逻辑(参见Gurevich)<sup><a href="#R13">13</一个></sup>)，我们对PTIME的逻辑表征感兴趣的原因是希望它能给我们提供对高效计算机制的新见解。因此，我们对抽象的逻辑不是很感兴趣，而是对具有很少清楚理解的运算符的漂亮的逻辑语言感兴趣。在这方面被证明是自然和有用的逻辑是经典一阶逻辑FO的扩展，通过不动点算子允许它形式化迭代或递归定义。<em>通胀定点逻辑</em>FP是FO的一个健壮扩展，它具有一个定点操作符，允许它通过迭代地向初始的空关系添加元组来定义关系。</p> <p><em>例2。</em>fp句连接定义为</p> <p><img alt="ueq09.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/7d14ae72-bc3c-414c-a2bb-783785f65bd8/ueq09.gif"></p> <p>表示图是连通的。对于任意两个节点<em>x</em>，<em>y</em>， ifp(…)操作符计算连接的组件<em>X</em>的<em>x</em>通过添加<em>x</em>然后在每次迭代中，所有已经在的节点的邻居<em>X。</em>conn这句话的意思是所有人都是这样<em>x</em>，<em>y</em>，<em>y</em>属于被连接的组件<em>X</em>的<em>x。</em></p> <p>通常情况下，在逻辑中添加基本的算术也是很有用的，特别是计数能力。<em>带有计数的通胀定点逻辑</em>FP+C是FP的一个扩展，通过基本的算术和计数机制来描述自然数的初始部分。</p> <p><em>例3。</em>下面的FP+ c句定义了一类欧拉图(即具有循环遍历所有边的图，众所周知，正是所有顶点都具有偶度的连通图):</p> <p><img alt="ueq10.gif" src="https://dl.acm.org/cms/attachment/aea918e5-db59-4d1e-9086-c2fad65f59d9/ueq10.gif"></p> <p>这里conn是在前面的例子#中定义的句子<em>y</em><em>E</em>（<em>x</em>，<em>y</em>)定义节点数<em>y</em>它们与节点相邻<em>x</em>，甚至(<em>n</em>)是表达这一点的公式<em>n</em>是偶数。</p> <p>因此，FP和FP+C通过两种基本的计算机制:迭代和计数扩展了提供基本逻辑机制的一阶逻辑。乍一看，似乎可以通过在FP中实现的迭代过程中枚举元素来模拟计算集合中元素的数量(例如，图中顶点的邻居集)。但这假定集合的元素可以按某种顺序排列，而这种顺序在结构中并不总是可用的。逻辑以同构不变的方式运作，在我们的集合中可能没有同构不变的顺序。</p> <p>尽管FP和FP+C不能捕获ptime，但这对FP来说很容易证明，对FP+C来说却很难证明<sup><a href="#R2">2</一个></sup>-已有研究表明，它们可以表达许多自然的PTIME属性，并且它们确实捕获了限制于大量种类结构的PTIME。作为起点，伊默曼<sup><a href="#R15">15</一个></sup>独立和瓦迪<sup><a href="#R22">22</一个></sup>证明了FP捕获了有序结构类上的PTIME，也就是只有一种关系的结构，即宇宙的线性顺序。注意，在有序结构上，我们可以使用迭代来模拟计数，因此，FP和FP+C具有相同的表达能力。当我们离开有序结构时，我们需要FP+C的显式计数机制。在一系列以专著结尾的论文中，<sup><a href="#R8">8</一个></sup>证明了FP+C在所有不将固定图作为次要图的图类上捕获PTIME。特别地，这包括平面图类和所有有界树宽度的图类。除了这些都由稀疏图组成的类之外，我们对它们知之甚少。实际上，在密集图中，只有很少的类的例子是已知的FP+C捕获PTIME，其中大多数是交点图的相当有限的类(例如，区间图和排列图)。我们的第二个主要结果，定理4，说明FP+C在所有有界秩宽度的图类上捕获PTIME，拓宽了这些结果的范围到一个新的方向。</p> <p>与以前的结果一样，定理4是用的框架证明的<em>可确定的推崇。</em><sup><a href="#R8">8</一个>，<一个href="#R20">20.</一个></sup>回想一下，根据伊默曼-瓦迪定理，<sup><a href="#R16">16</一个>，<一个href="#R22">22</一个></sup>FP在所有有序结构的类上捕获多项式时间。把这个定理直接应用到一个类上<em>C</em>对无序结构的定义是在该类上定义一个线性顺序:如果有一个公式ord(<em>x</em>，<em>y</em>)的逻辑FP定义了在所有结构上的线性顺序<em>C</em>，那么FP仍然捕获多项式时间<em>C。</em>不幸的是，这种观察很少适用，因为通常不可能定义线性顺序。例如，在具有非平凡自同构的结构上定义线性顺序是不可能的。</p> <p>一个更精致的想法，叫做<em>可确定的圣典</em>，就是定义一个<em>命令复制</em>输入结构的。要实现这个想法，FP+C特别适合，因为它允许我们讨论自然线性顺序的自然数的初始段。从技术上讲，可定义的规范化基于语法解释，这允许使用逻辑公式在另一个结构中定义一个结构。(在数据库术语中，一个句法解释是一个视图。)</p> <p>不深入任何细节，让我们只说明定理4证明的主要技术引理说明对于所有<em>k</em>所有秩宽图的类<em>k</em>允许FP+C可定义的封圣。证明这一引理的思想是实现秩宽图的规范化过程<em>k</em>基于(3<em>k</em>+ 4)维weisfeler - leman算法由一个公式的逻辑FP+C。</p> <p>关于所有进一步的细节，我们建议读者参阅本文的完整版本。<sup><a href="#R10">10</一个></sup></p> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p> <p><a name="body-6"></a></p> <h3>5.结论</h3> <p>本文研究了有界秩宽图的同构和封圣问题。第一个主要结果是秩宽最多的图的weisfeler - leman维数<em>k</em>最多是3<em>k</em>+ 4。这意味着秩宽最多的图的同构检验和标准形式的计算<em>k</em>能及时完成吗<em>n</em><sup><em>O</em>（<em>k</em>）</sup>．</p> <p>自然，有必要进一步改善这两个问题的复杂性。实际上，一个重要的开放问题是，当用秩宽参数化时，同构检验是否也具有固定参数可处理性(即是否存在一种算法来测试最多秩宽图的同构性)<em>k</em>在时间<em>f</em>（<em>k</em>）<em>n<sup>c</sup></em>对于一些可计算函数<em>f</em>一个绝对常数<em>c</em>)．</p> <p>第二个主要结果表明，对于每一个<em>k</em>∈N，带计数的不动点逻辑最多捕获秩宽图类上的PTIME<em>k</em>．</p> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p> <div id="article-references"> <a name="references"></a> <h3>参考文献</h3> <p><a name="R1"></a>1.准多项式时间下的图同构[扩展摘要]。在<em>48个国家的议事记录<sup>th</sup>ACM年度SIGACT计算理论研讨会，STOC 2016，剑桥，马萨诸塞州，美国，2016年6月18-21日</em>(2016)。ACM, 684 - 697。</p> <p><a name="R2"></a>2.蔡俊，Fürer, M.， Immerman .图识别变量数量的最优下界。<em>组合分析4</em>， 12(1992)， 389-410。</p> <p><a name="R3"></a>3.Chandra, A.K, Harel, D.关系查询的结构和复杂性。<em>j .第一版。系统。Sci。1</em>， 25(1982)， 99-128。</p> <p><a name="R4"></a>4.库塞尔，B.， Makowsky, J.A, Rotics, U.有界团宽度图上的线性时间可解优化问题。<em>理论第一版。2系统。</em>， 33(2000)， 125-150。</p> <p><a name="R5"></a>5.Courcelle, B.， Olariu, S.图的团宽度的上界。<em>离散的达成。数学。1 - 3</em>， 101(2000)， 77-114。</p> <p><a name="R6"></a>6.艾宾浩斯，H;<em>有限元模型理论</em>, 2<sup>nd</sup>经济日报。施普林格1 - 1999。</p> <p><a name="R7"></a>7.广义一阶谱和多项式时间可识别集。在<em>计算的复杂性，SIAM-AMS论文集</em>(第七卷)，R. Karp主编(1974)，43-73。</p> <p><a name="R8"></a>8.描述复杂性、规范化和可定义图结构理论。体积47<em>逻辑课堂讲稿。</em>剑桥大学出版社，2017。</p> <p><a name="R9"></a>9.具排除拓扑子图的图的结构定理与同构检验。<em>1 .康普特</em>， 44(2015)， 114-159。</p> <p><a name="R10"></a>10.有界秩宽图的规范化和可定义性。<em>相关系数</em>、abs / 1901.10330, 2019年。</p> <p><a name="R11"></a>11.有界秩宽图的同构检验。在<em>IEEE 56<sup>th</sup>2015年计算机科学基础年度研讨会</em>(伯克利，CA, USA, 2015年10月17-20日)，V. Guruswami, IEEE计算机学会，1010-1029。</p> <p><a name="R12"></a>12.高赫，M.，施韦策，P.用缠结计算。<em>离散数学</em>， 30(2016)， 1213-1247。</p> <p><a name="R13"></a>13.逻辑与计算机科学的挑战。在<em>理论计算机科学的当前趋势</em>(1988)， E. Börger，编。计算机科学出版社，1-57。</p> <p><a name="R14"></a>14.霍普克罗夫特，J.E，塔扬，R.有效平面度测试。<em>j . ACM</em>， 21(1974)， 549-568。</p> <p><a name="R15"></a>15.可在多项式时间内计算的关系查询(扩展摘要)。在<em>14国会议记录<sup>th</sup>ACM计算理论研讨会</em>(1982), 147 - 152。</p> <p><a name="R16"></a>16.捕获复杂性类的语言。<em>4 .康普特</em>， 16(1987)， 760-778。</p> <p><a name="R17"></a>17.描述图:图封圣的一阶方法。在<em>复杂性理论回顾展:纪念朱瑞斯·哈特曼尼斯60岁生日</em>(1988年7月5日)，A.L.塞尔曼，编。施普林格纽约，纽约，纽约，1990,59-81。</p> <p><a name="R18"></a>18.关于组合问题的复杂性。<em>网络</em>， 5(1975)， 45-68。</p> <p><a name="R19"></a>19.有界价图的同构性可以在多项式时间内得到检验。<em>j .第一版。系统。Sci。1</em>， 25(1982)， 42-65。</p> <p><a name="R20"></a>20.有界变量逻辑与计数-有限模型的研究。9卷<em>逻辑课堂讲稿。</em>施普林格,1997年。</p> <p><a name="R21"></a>21.近似的派系宽度和分支宽度。<em>j .梳子。理论,爵士。B 4</em>， 96(2006)， 514-528。</p> <p><a name="R22"></a>22.关系查询语言的复杂性(扩展摘要)。在<em>第十四届ACM计算理论年会论文集</em>(1982年5月5日至7日，美国加利福尼亚州旧金山)，h.r.刘易斯、b.b.西蒙斯、w.a.伯克哈德和l.h.兰德韦伯主编。ACM, 1982, 137 - 146。</p> <p><a name="R23"></a>23.魏斯菲勒，B.，勒曼，a .把图简化为标准形式及其所出现的代数。<em>NTI Ser。2</em>, 1968年。可以在<em><a href="http://htttps://www.iti.zcu.cz/wl2018/pdf/wl_paper_translation.pdf">htttps: / / www.iti.zcu.cz wl2018 / pdf / wl_paper_translation.pdf</一个>．</em>G. Ryabov译</p> </div> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p> <div id="article-authorinfo"> <a name="authorinfo"></a> <h3>作者</h3> <p><strong>马丁高仪</strong>（<一个href="mailto:grohe@informatik.rwth-aachen.de">grohe@informatik.rwth-aachen.de</一个>)，德国亚琛工业大学。</p> <p><strong>丹尼尔Neuen</strong>（<一个href="mailto:neuen@informatik.rwth-aachen.de">neuen@informatik.rwth-aachen.de</一个>)，德国亚琛工业大学。</p> </div> <p><a href="#PageTop">回到顶部</一个></p> <div id="article-footnotes"> <a name="footnotes"></a> <h3>脚注</h3> <p>这篇论文的前一个版本，题为“有界秩宽图的规范化和可定义性”发表在<em>34人会议记录<sup>th</sup>年度ACM和IEEE计算机协会。计算机科学中的逻辑</em>(加拿大BC省温哥华，2019)，1-13。</p> </div> <div id="article-permission"> <hr> <a name="permission"></a> <p>版权由作者/所有者持有。授权ACM出版权利。<br>请求发布的权限<一个href="mailto:permissions@acm.org">permissions@acm.org</一个></p> </div> <p>数字图书馆是由计算机协会出版的。版权所有©2021 ACM, Inc.</p> <div class="clearer"></div> <hr class="thick"> <a name="comments"></a> <div id="ArticleComments"> <span id="CommentHeader"></span> </div> <p class="view-all">没有发现记录</p> </div> <div class="col3 floatLeft lastCol"> <div class="signInWidget widget"> <span class="signInTitle">登录<span class="noTransform">为完全访问</span></span> <form action="//www.eqigeno.com/login" method="post"> <div class="portaInputSignIn"> <label for="inputUser" class="inField">用户名</label> <input name="current_member[user]" type="text" id="inputUser"> </div> <div class="portaInputSignIn"> <label for="inputPassword" class="inField">密码</label> <input type="password" name="current_member[passwd]" id="inputPassword"> </div> <a href="//www.eqigeno.com/accounts/forgot-password" class="subText">»忘记密码?</一个> <a href="//www.eqigeno.com/accounts/new" class="subText"><strong>»创建ACM Web帐号</strong></a> <button type="submit" class="submitSignIn">登录</button> </form> </div> <div id="article-contents-widget" class="widget contentsWidget"> <h6 class="loud">文章内容:</h6> <ul> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-1">摘要</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-2">1.简介</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-3">2.Weisfeiler-Leman算法</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-4">3.排名宽度</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-5">4.描述性的复杂性</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-6">5.结论</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#references">参考文献</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#authorinfo">作者</一个></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#footnotes">脚注</一个></li> </ul> </div> <div id="SideColumn"> <div id="related-news-opinion-widget" class="blueWidget widget noBottom" data-swiftype-index="false"> <span class="widgetName">更多新闻和观点</span> <div class="singleNews firstNews"> <h5><a href="//www.eqigeno.com/news/257827-reaching-across-the-aisle-to-find-the-algorithms-of-vision">跨越鸿沟寻找视觉算法</一个></h5> <span class="dateNews">西蒙斯基金会全球大脑</span> </div> <div class="singleNews"> <h5><a href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/3/258902-a-call-to-action">行动的号召</一个></h5> <span class="dateNews">罗纳德·m·﹒贝克尔</span> </div> <div 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href="https://m-www.eqigeno.com/magazines/2021/5/252182-isomorphism-canonization-and-definability-for-graphs-of-bounded-rank-width/fulltext?mobile=true" data-domain="www.eqigeno.com">手机网站</一个></li> </ul> </nav> <span id="footerText">vwin德赢ac米兰合作</span> </footer> </div> </div>  <div style="text-align:center;margin-bottom:5px;"><form action="http://www.baidu.com/baidu" target="_blank"><div bgcolor="#FFFFFF" style="text-align:center;"><input name="tn" type="hidden" value="baidu"><a href="http://www.baidu.com/"><img src="http://img.baidu.com/img/logo-80px.gif" width="80px" height="29px" alt="Baidu" align="bottom" border="0"></a><input type="text" name="word" size="30" placeholder="" value=""><input type="submit" value="baidusousou"></div></form></div><div id="so360" style="text-align:center;margin-bottom:5px;"><form action="https://www.so.com/" target="_blank" id="so360form"><img src="http://p1.qhimg.com/d/_onebox/search.png" width="100px" height="25px"> <input type="text" 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