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正式验证数学

从数学基础的角度来看，数学逻辑最重要的进步之一发生在20世纪初^th世纪是认识到普通的数学论证可以用形式的公理系统来表示，这样它们的正确性至少在原则上可以被机械地验证。Gottlob Frege在他的第一卷中提出了这样一个正式的系统Grundgesetze der Arithmetik虽然伯特兰·罗素(Bertrand Russell)在1903年指出了这个体系的不一致性。随后的基础体系包括罗素和怀特海的分支类型理论数学原理，在1910年至1913年出版了三卷本;厄恩斯特·泽梅罗1908年的公理集合理论，后来被亚伯拉罕·弗伦克尔推广;以及1940年阿朗佐·丘奇的简单类型理论。当库尔特Gödel在1931年提出他著名的不完备定理时，他首先作出了以下评价:

“众所周知，数学向更精确的方向发展，导致了大量数学的形式化，因此人们可以只用一些机械规则来证明任何定理。迄今为止建立的最全面的正式制度是数学原理另一方面是集合论的泽梅洛-弗雷恩克尔公理体系(冯·诺伊曼进一步发展)。这两种体系是如此全面，以致于今天数学中所使用的所有证明方法都在这两种体系中形式化了，也就是说，简化为一些公理和推理规则。因此，人们可能会推测，这些公理和推理规则足以决定任何可以在这些系统中正式表示的数学问题。下面将说明事实并非如此……”⁴

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