ACM通信gydF4y2Ba

研究突出了gydF4y2Ba

使用可达性分析和延续的锁相环形式化验证gydF4y2Ba

作者:Matthias Althoff, Akshay Rajhans, Bruce H. Krogh, Soner Yaldiz, Xin Li, Larry PileggigydF4y2Ba
ACM通讯，2013年10月，Vol. 56 No. 10, 97-104页gydF4y2Ba
10.1145/2507771.2507783gydF4y2Ba
评论gydF4y2Ba

我们提出了一种可扩展和形式化的技术来验证电荷泵锁相环的锁相时间和稳定性。传统的仿真方法只在给定的操作条件下验证锁相环，与此相反，我们提出的技术在所有可能的操作条件下正式验证了锁相环。锁相环的动力学是由一个混合自动机来描述的，它包含了模拟电路元件的微分方程和数字电路元件的开关逻辑。现有的计算混合自动机可达集的方法不能用于验证锁相环模型，因为锁相环需要大量的循环。我们开发了一种新的方法，通过在离散时间模型中使用不确定参数来表示可能的切换时间范围，来计算每个周期达到的状态集的有效超逼近，我们称之为一种技术gydF4y2BacontinuizationgydF4y2Ba．使用这种可达性分析的新方法，可以验证电荷泵锁相环设计的所有可能的初始状态和参数值的锁定规格，其时间与同一行为模型的几次模拟运行所需的时间相当。gydF4y2Ba

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1.简介gydF4y2Ba

在模拟混合信号(AMS)电路的标准设计流程中，将整个电路分解为其主要元件或gydF4y2Ba块gydF4y2Ba，首先使用理想化的低阶行为模型进行分析和设计。详细的电路级设计只有在参数变化和操作条件的要求范围内，在块级验证性能规范后才能实施。我们的目标是创建健壮的设计，以避免下游流程中昂贵的重新设计周期。gydF4y2Ba

由于连续和离散混合(即混合)AMS动力学的复杂性，没有分析技术来验证给定的设计是否满足电路规格，即使对于简化的块级行为模型也是如此。因此，数值模拟已经成为评价行为模型性能的标准工具。然而，模拟并不完全令人满意，因为每次模拟运行只代表一组初始状态和参数值的行为，因此需要许多模拟来评估设计的鲁棒性。此外，有些规范只有在模拟运行了很长时间后才能验证，而有些规范(如稳定性)则不能绝对确定地确认，因为模拟不能无限地运行。gydF4y2Ba

本文演示了一种替代基于形式化方法的仿真。形式化方法提供了模拟的一个有吸引力的替代方案，因为它们可以验证电路在整个初始状态和参数值范围内的所有可能行为是否满足规范。这对应于无限次持续时间的模拟运行。在对AMS设计形式化验证的文献调查中，Zaki等人将这些方法分为等价性验证、自动状态空间探索、运行时验证和基于证明的方法。gydF4y2Ba^11gydF4y2Ba可达性分析，即本文所开发的技术，是一种自动状态空间探索的形式。gydF4y2Ba

可达性分析的基本思想是利用电路的动力学方程来传播整个状态集的轨迹，而不是单一的状态轨迹。问题的关键是如何用数值方法表示状态集以及如何有效地传播这些状态集。已经发展了良好的技术来表示和计算连续动态系统的可达集(如Althoff)gydF4y2Ba^1gydF4y2Ba和吉拉德等人。gydF4y2Ba^8gydF4y2Ba)．所有这些技术都是基于超逼近，因为实际可达状态集一般不是凸的。然而，随着时间的推移，这些超逼近变得越来越不准确，对于混合动力系统，由于需要计算可达集与表示切换条件的曲面的交集的超逼近，超逼近变得更不准确，计算更耗时。gydF4y2Ba^{2gydF4y2Ba，gydF4y2Ba6gydF4y2Ba}因此，现有的混合系统可达性分析技术在相关时间区间内只有少量离散跃迁时是有效的。gydF4y2Ba

为了证明形式化方法和可达性分析在AMS电路中的适用性，我们考虑对一类锁相环(PLLs)的块级行为模型的验证。锁相环是产生高频输出信号的集成电路，这些高频输出信号与低频参考信号同步并相位一致。数以百万计的锁相环最初是在20世纪30年代作为无线电接收器的电路开发的，现在几乎用于所有数字通信系统，从卫星到移动电话，以及许多其他应用，如微处理器的时钟生成。电荷泵锁相环是目前流行的锁相环结构之一。gydF4y2Ba^7gydF4y2Ba它是一种AMS电路:由数字逻辑产生驱动模拟反馈的错误信号。gydF4y2Ba^7gydF4y2Ba

要验证锁相环的主要要求是电路的要求gydF4y2Ba锁定时间gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba稳定gydF4y2Ba．说明了这些规范gydF4y2Ba图1gydF4y2Ba．锁定时间是一个gydF4y2Ba短暂的规范gydF4y2Ba:锁相环状态必须在指定的循环次数内到达不变区域。稳定是一个gydF4y2Ba不变的规范gydF4y2Ba:从一组初始状态开始，相位差的大小必须无限期地保持在给定的范围内。这两种规格都必须可靠地实现，即，从一个任意的初始状态和一系列反映目标操作条件的参数值(例如，给定的温度范围)，以及将从详细设计和制造过程中产生的固有不确定性。使用仿真来验证锁相环的行为模型是非常耗时的，并且最终是不确定的，因为:(i)锁可能需要几千个周期，所以需要很长的仿真运行;(ii)每次模拟运行仅代表一组初始状态和参数值的行为，因此需要多次模拟来评估设计的鲁棒性;(iii)不变性只能推断，但不能保证，因为模拟不能无限运行。gydF4y2Ba

我们提出了一种在整个初始状态和参数值范围内验证锁相环瞬态和不变规格的方法，该方法使用可达集计算，可以在目前仅在设计空间中的几个选定点上模拟电路模型所需的相同时间内执行。我们的方法依赖于一些针对锁相环问题的新技术，因为锁定可能需要数千个周期，这意味着在切换逻辑中将有数千个离散的转换。对PHAVer等工具中实现的现有方法进行实验gydF4y2Ba^5gydF4y2Ba或SpaceExgydF4y2Ba^6gydF4y2Ba说明使用现有方法的超近似很快就会变得不准确，以至于不可能证明发生了锁定，即使在可以用分析方法演示锁定的简单情况下也是如此。gydF4y2Ba

本文的主要技术贡献是提出了一种计算具有大量离散状态跃迁的混合系统可达集超逼近的新方法。该方法利用了已有的具有有界不确定参数的线性系统可达集的计算结果。利用控制锁相环连续动力学的方程，我们创建了一个离散时间模型，该模型在每个连续时间周期开始时生成可达集的紧密超逼近。由于离散转换发生的实际时间可能会变化，我们在线性离散时间模型中引入有界不确定参数，以解释实际转换时间的变化。我们把这种将时间变化映射为参数不确定性的过程称为“映射”gydF4y2BacontinuizatongydF4y2Ba．gydF4y2Ba^3.gydF4y2Ba最后，我们表明，满足锁相环规格的离散时间模型保证规格在所有时间点的满足。离散时间模型的可达集可以很快地计算出来，并且利用锁相环动力学中的某些对称性进一步缩短了时间。我们的方法说明了如何成功地使用形式化方法来解决实际问题，通常需要扩展和洞察，以利用目标应用程序的特定结构和特性。这是一种使能技术，方便我们在所有可能的操作条件下有效地验证锁相环。gydF4y2Ba

在下一节中，我们首先展示了如何使用带有不确定参数的混合自动机在行为层面建模一类电荷泵锁相环。第3节介绍了连续时间行为模型到离散时间模型的转换，在每个周期后提供了原始模型的解决方案。锁相环开关时间的变化在第4节中用连续的新概念来抽象。这使得用参数不确定的线性系统来抽象锁相环的混合动力学成为可能。使用连续性产生的模型，第5节介绍了可达性分析在PLL规范正式验证中的应用，第6节介绍了使用可达性与经典仿真方法的验证结果的比较。结语部分总结了本文的贡献。gydF4y2Ba

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2.锁相环行为模型gydF4y2Ba

我们考虑了双路II型三阶电荷泵锁相环gydF4y2Ba图2gydF4y2Ba，包括参考信号发生器(Ref)、压控振荡器(VCO)、相位频率检测器(PFD)和电荷泵(CPs)，以及RC电路，实现反馈回路的PI控制器。基准频率发生器产生一个固定的低频(MHz)的正弦信号，压控振荡器产生一个高频(GHz)的信号。压控振荡器的期望输出频率由参考频率和分频比(即gydF4y2BaNgydF4y2Ba)．锁相环的目的是“锁定”压控振荡器的控制频率，使其输出具有相同的频率(当除以gydF4y2BaNgydF4y2Ba)和相位作为参考信号。gydF4y2Ba

锁相环的锁定是通过PFD实现的，通过比较参考信号和VCO信号的相位，如果参考信号超前，设置信号UP = 1，如果滞后，设置信号DN = 1。这些信号将电荷泵入或泵出电容器，改变电压gydF4y2BavgydF4y2Ba_pgydF4y2Ba而且gydF4y2BavgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba，作为VCO的比例和积分(PI)控制输入。例如，如果参考信号引导，这意味着参考信号比VCO信号快(当除以gydF4y2BaNgydF4y2Ba)．在这种情况下，UP设置为1，“UP”电流将使电容器充电，使电压值gydF4y2BavgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba而且gydF4y2BavgydF4y2Ba_pgydF4y2Ba增加。因此，压控振荡器的频率增加，以捕捉参考信号。我们不考虑PLL参数的适应性，如分频器、电阻或电容值。gydF4y2Ba

我们可以从gydF4y2Ba图2gydF4y2Ba，锁相环系统的不同组成部分以不同的频率工作。例如，参考信号在低频，而压控振荡器信号可能在极高频，如果分频比gydF4y2BaNgydF4y2Ba很大。较大的频率差异使得锁相环仿真极具挑战性，传统的仿真工具必须采用非常小的时间步长来数值求解锁相环时域响应。反过来，这会导致很长的模拟时间。gydF4y2Ba

电荷泵锁相环的行为模型是一种混合自动机gydF4y2Ba^4gydF4y2Ba具有线性连续动力学和不确定参数。通过对详细的电路模型进行等价检验，可以确定不确定参数的适当界。gydF4y2Ba^{9gydF4y2Ba，gydF4y2Ba10gydF4y2Ba}这些边界的选择应确保行为模型代表一个详细电路模型的所有可能的行为。如果更详细的模型在晶体管级别，那么该方法也能够捕获晶体管级别的问题。然而，目前的等价性检查技术通常是半正式的，这样一个完整的外壳还不能保证。gydF4y2Ba

行为模型中的连续状态向量为gydF4y2BaxgydF4y2Ba= (gydF4y2BavgydF4y2Ba_我gydF4y2BavgydF4y2Ba_{pgydF4y2Ba1gydF4y2Ba}vgydF4y2Ba_{pgydF4y2BavgydF4y2Ba裁判gydF4y2Ba}］gydF4y2Ba^TgydF4y2Ba与输入向量gydF4y2BaugydF4y2Ba= (gydF4y2Ba我gydF4y2Ba_我gydF4y2Ba我gydF4y2Ba_pgydF4y2Ba］gydF4y2Ba^TgydF4y2Ba(见gydF4y2Ba图2gydF4y2Ba)．动力是gydF4y2Ba

与gydF4y2Ba

电阻器和电容值在哪里给出gydF4y2Ba图2gydF4y2Ba和值gydF4y2BaKgydF4y2Ba_我gydF4y2BaKgydF4y2Ba_pgydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba_0gydF4y2Ba确定压控振荡器的频率:gydF4y2Ba．输入值gydF4y2BaugydF4y2Ba不同的信号离开PFD根据gydF4y2Ba

PFD的输出信号由相位信号的阈值交叉点决定。中的自动机描述了切换逻辑gydF4y2Ba图3gydF4y2Ba，其中状态标记为gydF4y2Baup_active、dn_active both_activegydF4y2Ba,gydF4y2Baboth_offgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

从gydF4y2Baboth_offgydF4y2Ba，混合自动机的下一个离散状态为gydF4y2Baup_activegydF4y2Ba如果参考信号先行到达gydF4y2Ba_{裁判gydF4y2Ba}= 2gydF4y2Ba,gydF4y2Badn_activegydF4y2Ba当gydF4y2Ba_vgydF4y2Ba= 2gydF4y2Ba首先到达。所示gydF4y2Ba图4gydF4y2Ba，为了在下一个周期中使用相同的相位交叉，相位值被重置为gydF4y2Ba_{裁判gydF4y2Ba}: =gydF4y2Ba_{裁判gydF4y2Ba}2gydF4y2Ba，gydF4y2Ba_vgydF4y2Ba: =gydF4y2Ba_vgydF4y2Ba2gydF4y2Ba在继续gydF4y2Baup_activegydF4y2Ba而且gydF4y2Badn_activegydF4y2Ba．一旦滞后信号有过零，即离散状态gydF4y2Baboth_activegydF4y2Ba输入了哪些模型的时间延迟gydF4y2BatgydF4y2Ba_dgydF4y2Ba用于关闭两个电荷泵。延迟后，系统进入gydF4y2Baboth_offgydF4y2Ba这又完成了一个循环。锁定实现时，相位差达到并保持在gydF4y2Ba锁定状态gydF4y2Ba由区间[0.1°，0.1°]给出。gydF4y2Ba

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3.时间离散化gydF4y2Ba

给定锁相环的混合自动机行为模型，我们首先基于参考信号的相位推导出参数有界不确定的离散时间线性模型，假设参考信号引导VCO信号，即对于离散状态序列gydF4y2Baup_activegydF4y2Baboth_activegydF4y2Baboth_offgydF4y2Ba．参考信号的一个周期的时间由gydF4y2BatgydF4y2Ba_{周期gydF4y2Ba}= 1 /gydF4y2BafgydF4y2Ba_{裁判gydF4y2Ba}．由于锁相环的连续动力学是线性的，我们可以利用叠加原理分别得到初始状态解和输入解。给出了一个周期的初始状态解gydF4y2Ba．恒定输入的输入解gydF4y2BaugydF4y2Ba在时间间隔[0，gydF4y2BargydF4y2Ba),gydF4y2BargydF4y2Ba电荷泵有活性的时间，可以用泰勒级数表示吗gydF4y2BaegydF4y2Ba^在gydF4y2Ba作为gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba= {gydF4y2Baa + b |gydF4y2Ba，gydF4y2BabgydF4y2Ba}是闵可夫斯基的加法gydF4y2Ba= {gydF4y2Baab |一个gydF4y2Ba，gydF4y2BabgydF4y2Ba}一个基于集合的乘法。注意，集合可以是标量、向量或矩阵的集合，集合也可以只包含一个(特定的)元素。当上下文明确表示涉及不确定矩阵时，集合乘号有时会被删除。应用标准操作符优先级规则。余数的集合gydF4y2Ba^pgydF4y2Ba（gydF4y2BargydF4y2Ba)被区间矩阵过度逼近，即每个元素都有下界和上界的矩阵，如Althoff等人所示。gydF4y2Ba^3.gydF4y2Ba由于在剩下的循环中没有输入，所以一个循环后的输入解为gydF4y2Ba．让gydF4y2BatgydF4y2Ba_在gydF4y2Ba表示系统所在位置的时间gydF4y2Baup_activegydF4y2Ba和回忆,gydF4y2BatgydF4y2Ba_dgydF4y2Ba是现在的时间吗gydF4y2Baboth_activegydF4y2Ba．同时,让gydF4y2BaugydF4y2Ba表示输入gydF4y2Baup_activegydF4y2Ba而且gydF4y2BaugydF4y2Ba_dgydF4y2Ba表示输入gydF4y2Baboth_activegydF4y2Ba．最后,定义gydF4y2BaxgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba= x (k tgydF4y2Ba_{周期gydF4y2Ba}，初始状态解与所有输入解的组合可以写成gydF4y2Ba

上面的公式是一个周期后连续时间演化的离散过近似。gydF4y2Ba

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4.ContinuizationgydF4y2Ba

该模型计算了在已知电荷泵开关时间的情况下，一个周期后系统的状态。在本节中，我们开发了一个模型，用于计算在整个可能切换时间范围内，每个周期可能发生的状态值的范围gydF4y2BatgydF4y2Ba_在gydF4y2Ba(当gydF4y2BatgydF4y2Ba_dgydF4y2Ba是给定的常数)。封闭形式的解决方案不存在gydF4y2BatgydF4y2Ba_在gydF4y2Ba，这取决于系统的状态。仿真技术获得gydF4y2BatgydF4y2Ba_在gydF4y2Ba通过检测与穿越保护条件相对应的零交叉gydF4y2Ba_vgydF4y2Ba= = 0。在此，我们提出了一种基于可能值区间的超逼近方法gydF4y2BatgydF4y2Ba_在gydF4y2Ba．自gydF4y2BatgydF4y2Ba_在gydF4y2Ba只取决于gydF4y2Ba_vgydF4y2Ba＝gydF4y2BaxgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba，足以考虑(见(1))gydF4y2Ba

我们假设用户定义的界限gydF4y2Ba在验证过程中受到监控。如果违反了这些界限，就需要以更大的间隔重新启动验证。将区间算法应用于(4)将得到界gydF4y2Ba．我们进一步提取边界gydF4y2Ba在gydF4y2BaxgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba从每个循环开始的可达集合。我们获得gydF4y2Ba利用参考信号先行的事实gydF4y2Ba,导致gydF4y2Ba

利用上述导出的切换时间上的界，我们利用连续的概念来计算由切换时间不确定引起的可达状态集。计算不确定切换时间下的可达集gydF4y2Ba图5gydF4y2Ba)，我们对(3)进行修正，依次计算解，首先是gydF4y2Ba_kgydF4y2Ba有时gydF4y2BatgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba+gydF4y2Ba_在gydF4y2Ba的,那么gydF4y2Ba_{kgydF4y2Ba＋1gydF4y2Ba}有时gydF4y2BatgydF4y2Ba_{kgydF4y2Ba＋1gydF4y2Ba}．这使得将不确定切换时间重置为区间[0，gydF4y2BatgydF4y2Ba_在gydF4y2Ba),gydF4y2BatgydF4y2Ba_在gydF4y2Ba＝gydF4y2Ba_{在gydF4y2Ba在gydF4y2Ba}(相比gydF4y2Ba_在gydF4y2Ba，gydF4y2Ba_在gydF4y2Ba，它在计算泰勒级数时具有计算优势，因为高阶项可以是紧密有界的。新的方程是:gydF4y2Ba

我们去掉周期指数gydF4y2BakgydF4y2Ba为简单起见，对下列偏差。提取时间是可能的gydF4y2Ba从集合gydF4y2Ba（gydF4y2BatgydF4y2Ba_在gydF4y2Ba)，以获得相对严格的纳入gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba（gydF4y2BatgydF4y2Ba_在gydF4y2Ba)是Althoff等人导出的区间矩阵。gydF4y2Ba^3.gydF4y2Ba将这个结果与gydF4y2Ba在(5)收益中使用这个想法gydF4y2Ba

现在,表达gydF4y2Ba(6)可以写成gydF4y2Ba，独立于当前模式。在这里，我们使用事实gydF4y2BaugydF4y2Ba仅根据相位差改变模式之间的符号，这是通过重新定义输入来处理的gydF4y2BaugydF4y2Ba: =胡志明市(gydF4y2BaxgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba（gydF4y2BatgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba)) (gydF4y2BaugydF4y2Ba)．我们也认为gydF4y2BaugydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba区间向量是这样的吗gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba0gydF4y2Ba表示固有维数的零向量，且(gydF4y2BatgydF4y2Ba_在gydF4y2Ba)为区间矩阵。gydF4y2Ba

(7)无论相位差是正还是负，只要时间间隔[gydF4y2Ba_在gydF4y2Ba，gydF4y2Ba_在gydF4y2Ba是正确的高估。在(5)中计算的时间间隔基于包括gydF4y2Baup_activegydF4y2Ba．如果循环包含gydF4y2Badn_activegydF4y2Ba边界是什么gydF4y2Ba

当计算恒定周期时间的状态边界时gydF4y2BatgydF4y2Ba_{周期gydF4y2Ba}，输入作用于区间内gydF4y2BatgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba+ [0,gydF4y2BatgydF4y2Ba_在gydF4y2Ba的循环包含gydF4y2Baup_activegydF4y2Ba在这个区间内gydF4y2BatgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba[0,gydF4y2BatgydF4y2Ba_在gydF4y2Ba的循环包含gydF4y2Badn_activegydF4y2Ba．如下面的算法1所示，根据之前和之后的输入，通过添加可达集来处理不同的时间gydF4y2BatgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba当两个循环都可能的时候。的输入溶液的相加gydF4y2BatgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba+ [0,gydF4y2BatgydF4y2Ba_在gydF4y2Ba),gydF4y2BatgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba[0,gydF4y2BatgydF4y2Ba_在gydF4y2Ba]会导致过近似值，因为输入解包含原点，所以前面的集合包含在加法后的集合中。此外，只将输入应用于就足够了gydF4y2BatgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba+ [0,gydF4y2BatgydF4y2Ba_在gydF4y2Ba]，以便进行后续的计算gydF4y2Ba图6gydF4y2Ba．因此，添加的输入解的错误gydF4y2BatgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba+ [0,gydF4y2BatgydF4y2Ba_在gydF4y2Ba),gydF4y2BatgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba[0,gydF4y2BatgydF4y2Ba_在gydF4y2Ba不会累积。只将输入应用于gydF4y2BatgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba+ [0,gydF4y2BatgydF4y2Ba_在gydF4y2Ba，由辅助可达集实现gydF4y2Ba_kgydF4y2Ba算法1。我们跳过了这个过程由于空间限制而过于接近的证明。gydF4y2Ba

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5.可达性分析gydF4y2Ba

我们现在介绍如何计算一组初始状态和一组循环的可达集合。可达集用最大复杂度的带状拓扑表示gydF4y2Ba（gydF4y2BangydF4y2Ba^3.gydF4y2Ba)gydF4y2BangydF4y2Ba用于所需操作。带状拓扑被定义为gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2BacgydF4y2Ba^ngydF4y2Ba是分区中心(分区中心对称)和gydF4y2BaggydF4y2Ba^{(我)gydF4y2BangydF4y2Ba}被称为发电机。带状拓扑的顺序定义为gydF4y2Ba．gydF4y2Ba图7gydF4y2Ba说明了一个带状拓扑正逐步构建为闵可夫斯基和的有限线段集gydF4y2Ba_我gydF4y2Ba= [1]gydF4y2BaggydF4y2Ba^{(我)gydF4y2Ba}．在Althoff中介绍了关于邻域的运算以及矩阵集与邻域之间的运算。gydF4y2Ba^1gydF4y2Ba

5.1.瞬态分析gydF4y2Ba

算法1给出了参考信号初始先行时可达集计算的算法。锁相环的一个有趣特性是，当初始相位差的绝对值相等时，锁定所需的周期数是相同的，而对应的初始电压与完全锁定状态下的电压是对称的。我们称这个属性为gydF4y2Ba对称的锁定时间gydF4y2Ba这使得仅在参考信号最初领先的情况下，计算可达集合就足够了。对于对称锁定，我们额外需要它gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba，对于可达性分析，可以通过选择区间来放宽gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba大到它们的中心为0。由于篇幅的限制，对称锁的证明被省略。gydF4y2Ba

为了模拟的目的，相位的值gydF4y2Ba_{裁判gydF4y2Ba}而且gydF4y2Ba_vgydF4y2Ba需要确定充电泵打开和关闭的时间。相比之下，用于可达性分析的离散时间模型不需要电荷泵值切换的精确时间;只要保持相位差就足够了gydF4y2BaxgydF4y2Ba_4gydF4y2Ba: =gydF4y2Ba_{vgydF4y2Ba裁判gydF4y2Ba}作为状态变量并移除gydF4y2BaxgydF4y2Ba_5gydF4y2Ba用于可达性计算。gydF4y2Ba

5.2.不变的计算gydF4y2Ba

一旦可达集满足锁定条件gydF4y2Ba|gydF4y2BaPgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba|gydF4y2Ba_锁gydF4y2Ba(参见算法1)，仍然需要检查这个条件是否无限满足。一个简单的程序是在每个循环后检查是否gydF4y2Ba_{kgydF4y2Ba＋1gydF4y2BakgydF4y2Ba},这意味着gydF4y2Ba_kgydF4y2Ba是一个不变量。检查gydF4y2Ba_{k +gydF4y2Ba1gydF4y2BakgydF4y2Ba}在计算上昂贵。这是因为带胞体必须用多胞体来表示，而多胞体的外壳检查在计算上是昂贵的。gydF4y2Ba^1gydF4y2Ba

为此，我们使用中说明的以下替代过程gydF4y2Ba图8gydF4y2Ba．首先，继续进行可达集的计算gydF4y2Ba在可达集之后的额外周期以周期的形式满足锁定条件gydF4y2BakgydF4y2Ba_锁gydF4y2Ba,请参阅gydF4y2Ba图8gydF4y2Ba．接下来是可达集gydF4y2Ba表示与轴对齐的框是否过度逼近gydF4y2Ba．这导致了对后续可达集的过度逼近，所以gydF4y2Ba应该选择足够大的，以便所有后续集都满足锁定条件。一旦一个可达的集合gydF4y2Ba所表示的带状拓扑由gydF4y2Ba(这是计算成本较低的检测)，可以得出结论，锁相环是无限锁定。gydF4y2Ba

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6.数值结果gydF4y2Ba

我们应用算法1和不变计算方法验证了采用32 nm CMOS SOI技术设计的27 GHz锁相环。请注意，锁相环是在一个先进的技术节点上按照商业流程设计的。因此，给出了一个实例来证明我们所提出的验证方法的有效性。所述锁相环和可达集计算的参数列于gydF4y2Ba表1gydF4y2Ba．这里考虑的锁相环采用了一个简单的初始化电路，在通电时和每当分割比改变时，将积分和比例路径电压设置为共模电平。这减少了锁定时间，并通过降低初始节点电压的不确定性来帮助正式验证。初始化后，节点电压的初始范围为gydF4y2BavgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba(0)[0.34, 0.36]，和gydF4y2BavgydF4y2Ba_{pgydF4y2Ba1gydF4y2Ba}(0)gydF4y2BavgydF4y2Ba_pgydF4y2Ba(0)(0.01, 0.01)。我们将相位归一化为[0,1]，将时间归一化为微秒。的相位范围gydF4y2Ba_vgydF4y2Ba分为5个子区间gydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba我gydF4y2Ba= 1…5，在不失一般性的前提下，我们假设gydF4y2Ba_{裁判gydF4y2Ba}(0) = 0。由于对称性，考虑了所有可能的初始相位差。泰勒项的数目取决于时间范围。(gydF4y2BatgydF4y2Ba_{周期gydF4y2Ba在gydF4y2Ba})，则使用30个泰勒项，其他计算则使用10个泰勒项。上述实验设置允许我们在考虑初始电压和相位不确定性的情况下正式验证锁相环。需要注意的是，这些不确定性不能有效地融入到传统的仿真方法中，因为传统的仿真只能在特定的初始条件下验证锁相环。gydF4y2Ba

从初始相位差开始的可达集gydF4y2Ba中的前200个循环显示为(0)gydF4y2Ba图9gydF4y2Ba对四对不同状态变量的投影。用于证明锁定的计算集显示在gydF4y2Ba图8gydF4y2Ba．在这个例子中，所提出的验证算法能够证明锁相环可靠地锁定到参考信号，而不受初始条件的影响。注意输入的电压gydF4y2Ba图9gydF4y2Ba高达10 [V]，因为还没有考虑电荷泵饱和。通过应用非线性行为模型，可以将我们的验证方法进一步扩展到考虑电荷泵饱和。gydF4y2Ba

表2gydF4y2Ba显示了锁相环在初始相位误差变化时实现锁定所需的时钟周期。第1列和第2列显示可达性分析的结果。第三列显示了在初始相位误差和电荷泵电流随机变化的情况下，从30个行为模拟中获得的最大锁定时间。我们使用最大锁定时间，因为验证任务是检查锁相环是否总是在指定的锁定时间之前锁定，也就是说，我们正在调查最坏情况的行为。请注意，我们没有提供任何随机评估，因为这不是本工作的重点。gydF4y2Ba表2gydF4y2Ba证明了在存在随机相位误差和电荷泵电流变化的情况下，我们的可达性分析有效地给出了最坏锁定时间的上界。另一方面，需要注意的是，基于蒙特卡洛模拟的传统方法不能保证找到“真实的”最大锁定时间。除非执行了无限次的蒙特卡洛运行，否则最大锁时间可能不会被其中一次蒙特卡洛运行捕获。gydF4y2Ba

从不同初始相位差集开始的可达性分析的计算时间列于gydF4y2Ba表3gydF4y2Ba．可以看出，结果是在不到一分钟内得到的。单周期可达性分析的平均计算时间约为27 [ms]，仅略长于MATLAB中行为模型一个周期的仿真所需的24 [ms]。目前提到的所有计算都是在1.6 GHz和6 GB内存的Intel i7处理器上完成的。在VerilogA中模拟特定初始条件下的行为模型只需要在2.53 GHz的Intel Xeon CPU上每个周期2 [ms]，这比可达性分析快了一个数量级。然而，如果考虑到VerilogA模型需要模拟数千个蒙特卡洛样本来捕获随机初始条件和参数变化，则可达性分析仍然具有竞争力。gydF4y2Ba

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7.结论gydF4y2Ba

本文提出了一种利用有效可达性分析验证锁相环锁定的方法。采用参数不确定和连续化的离散时间线性模型，消除了切换的复杂性，实现了高效的可达性计算。与应用经典的可达性方法相比，可以删除保护集的交集。因此，对保留的集合的唯一操作可以使用zonotopes执行，其复杂度最大gydF4y2Ba（gydF4y2BangydF4y2Ba^3.gydF4y2Ba)gydF4y2BangydF4y2Ba．锁的验证不需要任何Lyapunov函数来显示收敛性。在未来的工作中，我们计划考虑电荷泵的饱和和变容管非线性。我们还研究了连续化在混合系统中的其他应用，其中过渡时间可以被状态加不确定性的线性函数精确地高估。除了锁相环，提出的可达性分析还可以进一步扩展，在时域验证其他AMS系统的电路功能和性能指标。gydF4y2Ba

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致谢gydF4y2Ba

作者感谢美国国家科学基金会CCF0926181奖和C2S2焦点中心的支持，焦点中心研究计划(FCRP)资助的六个研究中心之一，一个半导体研究公司实体。gydF4y2Ba

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