多对数独立性傻瓜有界深度布尔电路</t我tle> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/all.css" rel="stylesheet"> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/jplayer.pink.flag.css" rel="stylesheet"> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/sections/videos.css" rel="stylesheet"> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/tipsy.css" rel="stylesheet"> <link href="//www.eqigeno.com/stylesheets/colorbox.css" rel="stylesheet"> <style> html{overflow: auto !important;} </style> <style> iframe body { overflow: hidden; } iframe { border: none; margin: 0; } .fav_hacker_news { background:url('https://img.icons8.com/color/48/000000/hacker-news.png') no-repeat center #FFF; background-size: 21.5px; } .fav_hacker_news:hover { background:url('https://img.icons8.com/color/48/000000/hacker-news.png') no-repeat center #e6e9ea; background-size: 21.5px; } .fav_bar a.fav_reddit { background-size: 22px; background:url('//www.eqigeno.com/images/icons/reddit.gif') no-repeat center #FFF; } .fav_bar a.fav_reddit:hover { 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action="/search" method="get"> <div class="portaInput"> <label for="searchInput" id="labelSearchInput" class="inField"></label> <input type="text" id="searchInput" class="st-default-search-input" placeholder="Search" name="q" aria-label="Search"> </div> <button name="search submit" type="submit" id="searchSubmit">去</gydF4y2Babutton> </form> </div> <div id="topBar"> <ul> <li><a href="https://www.acm.org/" title="ACM.orggydF4y2Ba">ACM.org</gydF4y2Baa></li> <li><a href="https://campus.acm.org/public/qj/brandingqj/cacm.cfm" target="_blank" title="加入ACMgydF4y2Ba">加入ACM</gydF4y2Baa></li> <li><a href="//www.eqigeno.com/about-communications" title="vwin德赢AC米兰官网网址">vwin德赢AC米兰官网网址</a></li> <li><a href="//www.eqigeno.com/acm-resources" title="vwin德赢网页版">vwin德赢网页版</a></li> <li class="last-child"><a href="//www.eqigeno.com/alerts-and-feeds" title="警报&提要gydF4y2Ba">警报&提要</gydF4y2Baa></li> <li class="last-child"><a href="https://www.facebook.com/Communications-of-the-ACM-521319564596131/" style="margin: 0;padding: 0;margin-right: 1px;margin-top: -2px;"><img src="//www.eqigeno.com/images/icons/facebook.png" alt="脸谱网gydF4y2Ba" style="height: 18px;width: 18px;"></a><a href="https://twitter.com/cacmmag" style="margin: 0;padding: 0;margin-top: -1px;margin-right: 4px;"><img src="//www.eqigeno.com/images/icons/twitter.png" alt="推特gydF4y2Ba" style="width: 16px;height: 16px;"></a><a href="//www.eqigeno.com/alerts-and-feeds/rss-feeds" style="margin: 0;padding: 0;"><img src="//www.eqigeno.com/images/icons/rss.png" alt="rssgydF4y2Ba" style="width: 14px;height: 14px;"></a></li> </ul> </div> <hgroup> <h1><a href="//www.eqigeno.com/" title="ACM通信gydF4y2Ba">ACM通信</gydF4y2Baa></h1> </hgroup> <nav> <ul> <li class="first-child"><a href="//www.eqigeno.com/" class="menuText itemHome">首页</gydF4y2Baa></li> <li> <div class="portaDropdown"> <a class="withMenu menuText itemCurrent" href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/9">vwin德赢AC米兰官网网址</a> <div class="menuLinks currenIssueDropdown"> <a class="menuCover" href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/9"><img src="//www.eqigeno.com/system/assets/0004/3712/Sept2022-Cover-1000x1338.large.jpg?1660587158&1660587158" width="145" height="192" alt="最新一期gydF4y2Ba"></a> <span class="dropDownIssueTitle">vwin德赢AC米兰官网网址本期:2022年9月</年代pan> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/9/263810-deconstructing-the-bakery-to-build-a-distributed-state-machine">解构面包房构建分布式状态机</gydF4y2Baa> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/9/263807-middleware-101">中间件101</gydF4y2Baa> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/9/263809-deploying-decentralized-privacy-preserving-proximity-tracing">部署去中心化、保护隐私的接近跟踪</gydF4y2Baa> <a class="lastLink" href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/9">查看目录</gydF4y2Baa> </div> </div></li> <li> <div class="portaDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/news" class="withMenu menuText itemNews">新闻</gydF4y2Baa> <div class="menuLinks newsDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/news" class="lastLink">最新消息</gydF4y2Baa> <a 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target="_blank">发布一个简历</gydF4y2Baa></li> <li><a href="http://jobs.acm.org/jobs/products" target="_blank">发布一个职位</gydF4y2Baa></li> <li><a href="https://www.acm.org/publications/advertising" target="_blank">广告与我们</gydF4y2Baa></li> <li class="lastLink"><a href="mailto:careers@acm.org">联系我们</gydF4y2Baa></li> </ul> </div> </div></li> <li> <div class="portaDropdown"> <a href="//www.eqigeno.com/magazines" class="withMenu menuText itemPrevious on">存档</gydF4y2Baa> <div class="menuLinks previousDropdown"> <span class="previousIssueTitle">杂志档案库收录了刊登在<我>ACM通信</我>在过去的50年里。</年代pan> <div class="issue"> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/9">2022年9月(第65卷第9期)</gydF4y2Baa> </div> <div class="issue"> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/8">2022年8月(第65卷第8期)</gydF4y2Baa> </div> <div class="issue"> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/7">2022年7月(第65卷第7期)</gydF4y2Baa> </div> <a href="//www.eqigeno.com/magazines" class="lastLink">查看更多问题</gydF4y2Baa> </div> </div></li> <li><a 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title="打印gydF4y2Ba">打印</gydF4y2Baa> <a href="//www.eqigeno.com/about-communications/mobile-apps/" class="mobile-apps" title="手机应用程序gydF4y2Ba">手机应用程序</gydF4y2Baa> <a href="https://dl.acm.org/citation.cfm?id=1924421.1924446&coll=portal&dl=ACM" class="fav_acm_digital" target="_blank" title="ACM数字图书馆gydF4y2Ba">ACM数字图书馆</gydF4y2Baa> <a href="//www.eqigeno.com/magazines/2011/4/106565-poly-logarithmic-independence-fools-bounded-depth-boolean-circuits/pdf" class="fav_pdf" rel="nofollow" target="_blank" title="全文(PDF)gydF4y2Ba">全文(PDF)</gydF4y2Baa> <a href="https://dl.acm.org/ft_gateway.cfm?id=1924446&ftid=928763&dwn=1" class="fav_de" target="_blank" title="数码版gydF4y2Ba">数码版</gydF4y2Baa> <span>分享:</年代pan> <a href="javascript:void(0);" class="fav_email" title="通过电子邮件发送gydF4y2Ba" id="sendByEmail">通过电子邮件发送</gydF4y2Baa> <a href="javascript:void(0);" class="fav_reddit" onclick="addthis_sendto('reddit');" title="在reddit分享gydF4y2Ba">在reddit分享</gydF4y2Baa> <a href="javascript:void(0);" class="fav_su" onclick="addthis_sendto('stumbleupon');" title="在StumbleUpon分享gydF4y2Ba">在StumbleUpon分享</gydF4y2Baa> <a href="https://news.ycombinator.com/" class="fav_hacker_news" title="分享到黑客新闻gydF4y2Ba">分享到黑客新闻</gydF4y2Baa> <a href="javascript:void(0);" class="fav_twitter" onclick="addthis_sendto('twitter');" title="在推特上分享gydF4y2Ba">在推特上分享</gydF4y2Baa> <a href="javascript:void(0);" class="fav_facebook" onclick="addthis_sendto('facebook');" title="在Facebook上分享gydF4y2Ba">在Facebook上分享</gydF4y2Baa> <div class="addthis_toolbox "> <a href="https://www.addthis.com/bookmark.php?v=250&pubid=xa-4dcbeff2515fc93c" class="addthis_button_compact fav_more no_border">分享</gydF4y2Baa> </div> </div> <div class="clearer"></div> <div class="imageWithCaptionLeft" id="asset-4897"> <figure> <img alt="随机数字gydF4y2Ba" src="//www.eqigeno.com/system/assets/0000/4897/032011_Holditbabycom_Poly-logarithmic1.large.jpg?1476779424&1300392520" title="random bingo numbers"> <figcaption> <p class="credit">图片来源:Hold It Baby</pgydF4y2Ba> </figcaption> </figure> </div> <a name="body-1"></a> <p>在现代计算机科学理论中，确定哪一种(弱的)随机形式“欺骗”了给定的算法(或看起来完全随机)的问题是一个基本的问题。在这项工作中，我们通过显示任何"<我>k</我>-明智的独立“随机位的集合，对一些<我>k</我>=(日志<我>n</我>）<年代up><i>O</我>(1）</年代up>，傻瓜算法可由有界深度电路计算。在此过程中，我们还提出了有界深度电路与低阶多元多项式之间已知的紧密联系。我们建立了一个新的这样的联系来证明我们的主要结果。</pgydF4y2Ba> <p>在本节的其余部分，我们将更详细地介绍基本概念，以便给出我们主要结果的精确版本。</pgydF4y2Ba> <p><img src="https://portal.acm.org/images/bullet.gif" vspace="2" alt="＊gydF4y2Ba"><b>1.1有界深度电路</gydF4y2Bab></p> <p>一个布尔电路<我>C</我>是一种由布尔输入、布尔输出和对电路中间值进行操作的门组成的电路。电路不允许有回路。换句话说，电路的门组成了一个有向无环图。一个电路<我>C</我>与<我>n</我>输入位和一个输出自然会产生一个布尔函数<我>F</我><sub><i>C</我></sub>: {0,1}<年代up><i>n</我></sup>{0,1}。根据电路的类型，可以对电路的大小、形状和可能使用的栅极类型进行各种限制。在本文中，我们将重点讨论允许无界扇入与或门，以及非门的电路。</pgydF4y2Ba> <p>因为任何给定的电路都接受一个固定的数字<我>n</我>对于输入，它只能计算集合{0,1}上的函数<年代up><i>n</我></sup>长度的字符串<我>n。</我>如果我们想讨论如何计算一个函数<我>F:</我>{0,1}*{0,1}使用电路接受任意长度的字符串，我们需要考虑<我>家庭</我>由输入大小参数化的电路。电路族<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/53caca2f-ecfd-48e7-b588-42c9c8db3e5a/cacm5404_a.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_a.gifgydF4y2Ba">计算函数<我>F</我>如果每个电路<我>C</我><sub><i>n</我></sub>计算约束<我>F</我>长度的字符串<我>n。</我></p> <p>衡量电路“功率”的两个最重要的指标是<我>大小</我>而且<我>深度。</我>电路尺寸是构成电路所使用的门的总数。对于具有与门、或门和非门的电路，深度定义为信号从任何输入到输出所需要的与门和或门的最大数量。同样的方法也适用于电路族。一个家庭{<我>C</我><sub><i>n</我></sub>}是多项式大小，如果每个的大小<我>C</我><sub><i>n</我></sub>是有界的<我>n</我><sup><i>c</我></sup>为一个常数<我>c。电路复杂性</我>研究计算各种布尔函数所需的资源量(如大小、深度)。</pgydF4y2Ba> <p>在此背景下，研究有界深度电路。，最多使用一个常数<我>d</我>层数是特别感兴趣的。由有界深度和多项式大小的布尔电路计算的复杂度类捕获函数表示为<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>．因此<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>在常数时间内捕获多项式大小的电路。类<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>在过去三十年里被广泛研究过。</pgydF4y2Ba> <p>原因有很多<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路已经被广泛地研究过。首先,<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>本质上是否是唯一一类被证明有强无条件下界的电路:例如，已知的任何<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>计算宇称函数的电路<我>奇偶校验</我>（<我>x</我><sub>1</年代ub>、……<我>x</我><sub><i>n</我></sub>) =<我>x</我><sub><i>我</我></sub>模2必须是的大小指数<我>n。</我><sup><a href="#R5">5</gydF4y2Baa>，<gydF4y2Baa href="#R6">6</gydF4y2Baa></sup>其次，由多项式层次结构(PH)复杂性类执行的计算相对于oracle和由<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路。从而更好地理解<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>转换成对多项式层次结构的更好理解。最后，班的<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>的子类<我>DNF</我>公式一直是众多高效机器学习算法的目标。它实际上是<我>因为</我><b>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>是一个相对较弱的类，这个类中的函数是可以有效学习的:可以表明，从较大的电路复杂性类学习函数将允许一个人打破密码原语，如整数分解。</pgydF4y2Ba> <p><img src="https://portal.acm.org/images/bullet.gif" vspace="2" alt="＊gydF4y2Ba"><b>1.2伪随机性:愚弄有界深度电路</gydF4y2Bab></p> <p>随机性是最重要的计算资源之一。随机化算法<我>一个</我>可以使用一串随机位吗<我>r</我>{0,1}<年代up><i>n</我></sup>作为计算的一部分。这种随机性可用于蒙特卡洛模拟，或用于生成随机哈希。表示由<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/ee76c385-bbf3-4328-abcb-9c34378a3f8a/cacm5404_l.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_l.gifgydF4y2Ba">长度布尔字符串的均匀分布<我>n。</我>然后我们的随机算法<我>一个</我>执行与<我>r</我>被取样<我>U。</我>在现实中，真正随机的样本几乎是不可能获得的，我们只能求助于<我>伪随机</我>生成伪随机位的分布和函数，例如<cgydF4y2Baode>兰德</cgydF4y2Baode>函数在c中的分布<我>n</我>伪随机位字符串?这个问题的答案取决于算法<我>一个。</我>的分布是伪随机的<我>一个</我>的行为<我>一个</我>的样本与它在真正均匀随机上的行为是不可区分的<我>r。</我>特别是,如果<我>一个</我>在真正统一的样本下很可能正确工作，它在抽取的样本下也很可能正确工作。</pgydF4y2Ba> <p>为了简单起见，假设<我>一个</我>输出一位。对于长度-的分布<我>n</我>字符串{0,1}<年代up><i>n</我></sup>，我们用0表示<gydF4y2Bab>E</gydF4y2Bab><sub></sub>［<我>一个</我>的期望值<我>F</我>根据的输入。当考虑的分布是均匀分布时<我>U</我>在{0,1}<年代up><i>n</我></sup>，我们去掉下标，让<gydF4y2Bab>E</gydF4y2Bab>［<我>一个</我>的期望值<我>一个。</我>分布是-伪随机的，或者-<我>傻瓜一个</我>如果期望输出时<我>一个</我>喂食的样本来自于-接近于期望输出时，喂食的是真正均匀的样本:</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/88e22aed-40bc-4014-b50f-938e638a4058/ueq01.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq01.gifgydF4y2Ba"></p> <p>因此，当我们使用<cgydF4y2Baode>兰德</cgydF4y2Baode>函数，我们隐含地希望它的输出-愚弄我们的程序。</pgydF4y2Ba> <p>与欺骗一个算法类似，我们可以定义欺骗一个函数类。特别是，分配-傻瓜<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>函数，如果它欺骗类中的每个函数。</pgydF4y2Ba> <p>函数类越小(也越弱)，就越容易被欺骗。自<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>是一个相对弱的函数类，有希望用分布或者相对低的熵来愚弄它们。80年代后期，尼森<年代up><a href="#R10">10</gydF4y2Baa></sup>演示了一个这样的分布家族。在本文中，我们将给出一类非常一般的分布<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路，显示一切<我>k</我>-独立分布<我>k</我>=日志<年代up><i>O</我>(1）</年代up><i>n</我>傻瓜<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路。</pgydF4y2Ba> <p><img src="https://portal.acm.org/images/bullet.gif" vspace="2" alt="＊gydF4y2Ba"><b>1.3.<我>k</我>明智的独立和主要的结果</gydF4y2Bab></p> <p>在{0,1}上的分布<年代up><i>n</我></sup>是<我>k</我>-独立的，如果对的每个限制<我>k</我>坐标在{0,1}上是一致的<年代up><i>k</我></sup>．显然，在{0,1}上的均匀分布<年代up><i>n</我></sup>是<我>n</我>独立。分布的一个简单例子是(<我>n</我>- 1)-独立但不统一是</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/030ce63a-6289-452b-8e22-c06e9b8c24e7/ueq02.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq02.gifgydF4y2Ba"></p> <p>的位<我>x</我><sub>1</年代ub>、……<我>x</我><sub><i>n</我>1</年代ub>均匀随机选择<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/a9b7e903-b38e-4cdc-bfc0-438ea22774ff/oplus.gif" border="0" hspace="2" alt="oplus.gifgydF4y2Ba">是异或运算符。同样,<年代ub><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a9b7e903-b38e-4cdc-bfc0-438ea22774ff/oplus.gif" border="0" hspace="2" alt="oplus.gifgydF4y2Ba"></sub>选择一个均匀随机的字符串，范围为{0,1}<年代up><i>n</我></sup>条件是1的个数是偶数。</pgydF4y2Ba> <p><i>k</我>-明智的独立分布有时可以用作伪随机生成器。如果是一个<我>k</我>-明智的独立分布，它可能需要少于<我>n</我>抽样的真正随机性比特。例如，分布<年代ub><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a9b7e903-b38e-4cdc-bfc0-438ea22774ff/oplus.gif" border="0" hspace="2" alt="oplus.gifgydF4y2Ba"></sub>只需要<我>n</我>- 1个真正的随机抽样位。阿龙et al .,<年代up><a href="#R1">1</gydF4y2Baa></sup>建立在约菲的想法上<年代up><a href="#R7">7</gydF4y2Baa></sup>给出一个简单的构造<我>k</我>-明智的独立分布，这只需要<我>O</我>（<我>k</我>日志<我>n</我>)使用一元多项式的真正随机位。</pgydF4y2Ba> <p>另一种看待和构建的方式<我>k</我>-明智的独立分布使用编码理论。简单的线性编码产生了一个大的家族<我>k</我>在某方面独立的分布。对于任何二进制代码<我>C</我>随着距离><我>k</我>，为集合上的均匀分布</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/d47fcc65-64a2-4636-bb9a-150d48927390/ueq03.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq03.gifgydF4y2Ba"></p> <p>引起了<我>k</我>在某方面独立分布。这个例子<年代ub><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a9b7e903-b38e-4cdc-bfc0-438ea22774ff/oplus.gif" border="0" hspace="2" alt="oplus.gifgydF4y2Ba"></sub>以上对应的是<我>n</我>次重复代码<我>C</我>={00……0, 11……1}，其距离为<我>n</我>再次表明<年代ub><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a9b7e903-b38e-4cdc-bfc0-438ea22774ff/oplus.gif" border="0" hspace="2" alt="oplus.gifgydF4y2Ba"></sub>是(<我>n</我>- 1)在某方面独立。</pgydF4y2Ba> <p>的<我>k</我>的做<我>k</我>在某方面独立傻瓜<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路?不难看出，区别的问题<年代ub><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a9b7e903-b38e-4cdc-bfc0-438ea22774ff/oplus.gif" border="0" hspace="2" alt="oplus.gifgydF4y2Ba"></sub>从均匀分布出发是很难计算的<我>奇偶校验</我>，因此，这并不奇怪<年代ub><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a9b7e903-b38e-4cdc-bfc0-438ea22774ff/oplus.gif" border="0" hspace="2" alt="oplus.gifgydF4y2Ba"></sub>傻瓜<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路。如果分布是<我>k</我>-wise独立，这意味着“局部”分布看起来是均匀的，而一个电路区别于均匀分布需要能够“处理”超过<我>k</我>输入比特在一起。因此,直觉上,<我>k</我>⊙、明智的独立应该能够愚弄人<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路，即使是相当小的值<我>k。</我>1990年，利尼亚和尼森<年代up><a href="#R9">9</gydF4y2Baa></sup>猜想<我>k</我>=(日志<我>米</我>）<年代up><i>d</我>- 1</年代up>(例如,poly-logarithmic<我>米</我>)足以愚弄人<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路的大小<我>米</我>和深度<我>d。</我>本文的主要目的是给出以下定理的证明，该定理于2009年首次发表<年代up><a href="#R3">3.</gydF4y2Baa></sup>：</pgydF4y2Ba> <p>定理1。<我>r</我>（<我>M, d，)-independence -fools depth-d<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>大小为m的电路，其中</我></p> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/08e09c83-588d-44af-9467-b75741e54314/ueq04.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq04.gifgydF4y2Ba"></p> <p>定理1表明，多对数独立性足以愚弄所有的<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路，从而解决了利尼亚尼森猜想。其中的差距在于登录指数的确切依赖关系<我>d。</我>在定理1之前，这个猜想已经被巴兹证明过了<年代up><a href="#R2">2</gydF4y2Baa></sup>2007年为特例<我>DNF</我>公式。Bazzi最初的证明相当复杂，后来被Razborov大大简化。<年代up><a href="#R12">12</gydF4y2Baa></sup>没有非平凡的界<我>r (m, d</我>，)是著名的<我>d</我>> 2。</pgydF4y2Ba> <p class="totop"><a href="#PageTop">回到顶部</gydF4y2Baa></p> <a name="body-2"></a> <h3>2.证据的概述</gydF4y2Bah3> <p>我们工作的主要技术成分是提出低次多项式与<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路。多项式与电路之间的连接，尤指<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路，在过去已经在不同的情况下被探索，并且仍然可能是分析这些功能的最强大的工具。</pgydF4y2Ba> <p>我们从观察这个开始<我>k</我>-明智的独立分布完全愚蠢度-<我>k</我>多项式。让任何<我>k</我>{0,1}上的-独立分布<年代up><i>n</我></sup>．作为第一步，让<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/cf886bcb-c7fb-420e-8950-6a47be0654c8/cacm5404_m.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_m.gifgydF4y2Ba">是一个学位,<我>k</我>单项。<我>米</我>可能最多取决于<我>k</我>不同的变量<我>k</我>-wise independent)似乎是完全一致随机的。因此</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/4e89b2f9-ba3e-439a-96ec-078400530a19/ueq05.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq05.gifgydF4y2Ba"></p> <p>现在,如果<我>f</我>是一个学位,<我>k</我>多项式在<我>x</我><sub>1</年代ub>、……<我>x</我><sub><i>n</我></sub>，它可以写成次数-的和<我>k</我>单项式:<我>f</我>＝<年代up><i>N</我></sup><sub><i>j</我>= 1</年代ub><i>米</我><sub><i>j</我></sub>．每一个单体都完全被和愚弄了</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a31b5ae3-a733-48dd-a8d4-b2f18518ce4f/eq01.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="eq01.gifgydF4y2Ba"></p> <p>根据(1)，证明定理1的合理攻击策略为:为一个函数<我>F</我>计算一个<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路，找一个多项式<我>f</我>,接近<我>F</我>这样:</pgydF4y2Ba> <ol> <li><b>E</gydF4y2Bab>［<我>F</我>］<gydF4y2Bab>E</gydF4y2Bab>［<我>f</我>),即<我>f</我>接近<我>F</我>平均;</l我> <li><b>E</gydF4y2Bab><sub></sub>［<我>F</我>］<gydF4y2Bab>E</gydF4y2Bab><sub></sub>［<我>f</我>),即<我>f</我>接近<我>F</我>一般来说，即使我们限制自己的输入。</l我> </ol> <p>利用(1)得出</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/5542f9ba-f011-498d-913f-7ad2593af26d/ueq06.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq06.gifgydF4y2Ba"></p> <p>也就是说,傻瓜<我>F。</我>当然，我们根本不清楚这样的多项式是否存在(我们也不知道它是否存在)。然而，沿着这些路线精心策划的攻击实际上是成功的。这个证明结合了前面两个近似多项式的构造<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路。</pgydF4y2Ba> <p>第一个构造是由于Linial, Mansour和Nisan<年代up><a href="#R8">8</gydF4y2Baa></sup>在第三节中有广泛的讨论。这是一个分析结构，对于每一个<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>函数<我>F</我>提供一个低次多项式<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/6da8b6ee-4bb7-4e5a-b8e4-16d7f1f397c7/cacm5404_b.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_b.gifgydF4y2Ba">这与平均值很接近。这样的多项式可以很容易地满足上面的要求1。然而，它对满足需求2没有帮助。由于支持度相当小，平均接近不排除这种可能性<我>F</我>而且<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/6da8b6ee-4bb7-4e5a-b8e4-16d7f1f397c7/cacm5404_b.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_b.gifgydF4y2Ba">在支撑点的分布上彼此偏差较大。这种均匀平均情况下的近似在我们需要的时候是没有用的<我>F</我>要接近<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/6da8b6ee-4bb7-4e5a-b8e4-16d7f1f397c7/cacm5404_b.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_b.gifgydF4y2Ba">根据抽取的样品。</pgydF4y2Ba> <p>第二种结构是组合结构，这是由Razborov提出的<年代up><a href="#R11">11</gydF4y2Baa></sup>和Smolensky。<年代up><a href="#R13">13</gydF4y2Baa></sup>它将在第4节中讨论。对于一个<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>函数<我>F</我>,<我>任何</我>分布的输入<我>v</我>， RazborovSmolensky构造给出了一个低次多项式<我>f</我>这样<我>F = F</我>有很高的概率<我>v。</我>换句话说,</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/5536bca7-8d6b-4a79-9ff5-504a9226e6f7/ueq07.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq07.gifgydF4y2Ba"></p> <p>注意,这里<我>f</我>实际上是<我>平等的</我>来<我>F</我>大多数时候(不仅仅是接近它)。自<我>v</我>可以是任意分布</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/d3563919-7ac8-4a4f-ada1-d965c4371a80/ueq08.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq08.gifgydF4y2Ba"></p> <p>为与均匀分布之间的混合分布，从而保证了<我>f (x) f (x)</我>同时对于两个分布都很小。这似乎是对线性曼苏尔尼森多项式的一个有希望的改进，它可能使我们满足上面的要求1和2。</pgydF4y2Ba> <p>这里的警告是，在少数几个地方<我>f (x) f (x)</我>偏差|<我>f (x) - f (x)</我>|可能很大。特别是,当<我>f</我>接近<我>F</我>(更准确地说，是完全相等的)几乎在任何地方，它们的平均水平不一定接近。因此,例如,<gydF4y2Bab>E</gydF4y2Bab>［<我>f</我>可能与<gydF4y2Bab>E</gydF4y2Bab>［<我>F</我>］．</pgydF4y2Ba> <p>我们看到，两个多项式近似都让我们“部分”接近目标，但不完全工作。为了使证明有效，我们需要将第5节中描述的两种方法结合起来。简而言之，我们首先取一个RazborovSmolensky多项式<我>f</我>,同意<我>F</我>几乎无处不在。结果是一个“错误”函数(<我>x</我>)，以“标记”有问题的地点，即(<我>x</我>) = 1<我>f (x) f (x)</我>，可以由(稍大一点的)<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路。因此，它是函数<我>f * (x)</我>= (1 - ()<我>x</我>))。<我>f (x)</我>如果是多项式，我们的形状会很好:<我>* (x) = f (x)</我>大多数时候，即使他们意见不一致，他们的分歧还是微乎其微<我>* (x) - f (x)</我>| 1，因此实际上<gydF4y2Bab>E</gydF4y2Bab>［<我>f *</我>］<gydF4y2Bab>E</gydF4y2Bab>［<我>F</我>)和E<年代ub></sub>［<我>f *</我>］<我>E</我><sub></sub>［<我>F</我>］．</pgydF4y2Ba> <p>当然,<我>f *</我>不是多项式，因为不是多项式。然而，做一点工作就能得到多项式<我>f '</我>= (1 -<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/85df3a2a-29e1-4bed-af00-cac1f2801e80/cacm5404_c.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_c.gifgydF4y2Ba">)·<我>f</我>,在那里<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/85df3a2a-29e1-4bed-af00-cac1f2801e80/cacm5404_c.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_c.gifgydF4y2Ba">的线性曼苏尔尼桑近似能让我们证明主要定理。因此，证明是结合两种近似技术在一个多项式。</pgydF4y2Ba> <p class="totop"><a href="#PageTop">回到顶部</gydF4y2Baa></p> <a name="body-3"></a> <h3>3.低深度电路与多项式分析连接</gydF4y2Bah3> <p>大约是第一次爆炸的十年后<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>发布了下界，Linial, Mansour和Nisan证明了以下引人注目的引理:</pgydF4y2Ba> <p>引理2。<我>如果F:</我>{0,1}<年代up><i>n</我></sup>{0,1}<我>布尔函数是否可由大小为m的深度d电路计算，那么对于每一个t都有一个t次多项式<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/6da8b6ee-4bb7-4e5a-b8e4-16d7f1f397c7/cacm5404_b.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_b.gifgydF4y2Ba">与</我><sup><a href="#R8">8</gydF4y2Baa></sup></p> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/92a8619e-2b79-4256-9b19-2dcecf64a165/ueq09.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq09.gifgydF4y2Ba"></p> <p>引理表明，任何大小的低深度电路<我>米</我>可以很好地用次数(log<我>米</我>）<年代up><i>O (d)</我></sup>电路大小的多对数度。这里的近似误差为平均平方误差:<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/6da8b6ee-4bb7-4e5a-b8e4-16d7f1f397c7/cacm5404_b.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_b.gifgydF4y2Ba">不必同意<我>F</我>在任何一点上，但是|的平均值<我>F (x) - F (x)</我>|<年代up>2</年代up>当接手汉明立方体时，它很小。引理陈述的一个例子可以在<gydF4y2Baa href="#F1">图1</gydF4y2Baa>．</pgydF4y2Ba> <p>为了理解引理2的背景，我们需要考虑布尔函数分析中最基本的工具之一:傅里叶变换，我们将在这里简要介绍它。关于布尔立方体上的傅里叶变换的介绍性调查可以在德沃尔夫中找到。<年代up><a href="#R4">4</gydF4y2Baa></sup>在本节的其余部分，我们将介绍布尔函数<我>F:</我>{0,1}<年代up><i>n</我></sup>{0,1}使用函数<我>旅客:</我>{1, + 1}<年代up><i>n</我></sup>{-1， +1}，其中0对应1,1对应+1。因此</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/95ee66dc-7e1e-420b-979d-8096cb6be120/ueq10.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq10.gifgydF4y2Ba"></p> <p>这不会影响任何结果，但会使所有的计算更清晰。请注意，学位-<我>t</我>多项式近似的<我>F</我>相当于一个学位<我>t</我>多项式逼近<我>G</我>反之亦然。</pgydF4y2Ba> <p>每个函数<我>旅客:</我>{1, + 1}<年代up><i>n</我></sup>{-1， +1}可以看成是2<年代up><i>n</我></sup>维向量<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/8484f93f-dc1c-4150-af99-c5fc1207ec3a/cacm5404_d.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_d.gifgydF4y2Ba">由其真值表指定。考虑到特殊<我>奇偶函数</我><sub><i>年代</我></sub>: {1 + 1}<年代up><i>n</我></sup>{1, + 1}。对每组<我>年代</我>{1,…,<我>n</我>}的坐标，让</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/ae304678-2f1f-4eef-82ec-c51cfd5a93f2/ueq11.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq11.gifgydF4y2Ba"></p> <p>换句话说,<年代ub><i>年代</我></sub>奇偶性是<我>x</我>对应于集合中的坐标<我>年代。</我>总共有2个<年代up><i>n</我></sup>不同的功能<年代ub><i>年代</我></sub>每个子集对应一个<我>年代</我>的坐标。这个函数<年代ub></sub>是常数函数(<我>x</我>) = 1，而函数<年代ub>{1,…,<我>n</我>｝</年代ub><sup>（<我>x</我>）</年代up>中所有坐标的宇称<我>x。</我></p> <p>类似于函数<我>G</我>,每个函数<年代ub><i>年代</我></sub>也可以看成是向量<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/8484f93f-dc1c-4150-af99-c5fc1207ec3a/cacm5404_d.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_d.gifgydF4y2Ba">由它对所有可能的输入接受的值指定。我们滥用符号来表示这些向量<年代ub><i>年代</我></sub>也此外，为每两组<我>年代</我><sub>1</年代ub><i>年代</我><sub>2</年代ub>向量<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/7d23a6ec-54d7-48e1-aaa2-2da5430c42b2/cacm5404_n.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_n.gifgydF4y2Ba">而且<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/c0727166-7132-436b-bf85-71a2096efe84/cacm5404_o.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_o.gifgydF4y2Ba">彼此正交。也就是说,</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/8f2a5189-8da2-480a-a729-3a2a3536634c/ueq12.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq12.gifgydF4y2Ba"></p> <p>因此我们有2个<年代up><i>n</我></sup>正交向量{<年代ub><i>年代</我></sub>}在<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/8484f93f-dc1c-4150-af99-c5fc1207ec3a/cacm5404_d.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_d.gifgydF4y2Ba">，当适当地规范化时，它们会产生空间的标准正交基。换句话说，每一个向量<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/8484f93f-dc1c-4150-af99-c5fc1207ec3a/cacm5404_d.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_d.gifgydF4y2Ba">可以唯一地表示为函数的线性组合吗<年代ub><i>年代</我></sub>．特别是函数<我>G</我>可以唯一地写成:</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a1ee3b86-a919-4ee0-b3b3-fde368409965/eq02.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="eq02.gifgydF4y2Ba"></p> <p>其中数值系数<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/fbba1c46-099b-4c1f-ba64-006ddfb2451c/cacm5404_e.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_e.gifgydF4y2Ba">是由内积给出的吗</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/d682d91c-ff45-4c2a-9665-c87182460acf/ueq13.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq13.gifgydF4y2Ba"></p> <p>的表示<我>G</我>由(2)给出的称为<我>傅里叶变换</我>的<我>G。</我>转换转换为2<年代up><i>n</我></sup>的真值表<我>G</我>) 2<年代up><i>n</我></sup>数字(系数<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/b4e5043c-bac2-4f05-9a74-f1c80e62700b/cacm5404_f.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_f.gifgydF4y2Ba">（<我>年代</我>)，从而保存了有关的所有信息<我>G。</我>另一种看待表示(2)的方式是作为一种规范的表示方式<我>G</我>为实值系数的多线性多项式:</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/b4bc8708-fada-4078-be4e-046abb2540d5/eq03.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="eq03.gifgydF4y2Ba"></p> <p>因此每个函数<我>G</我>能被唯一地表示为一个学位吗<我>n</我>多线性多项式(一个简单的事实，可以直接证明，不需要傅里叶变换)。更重要的是，当我们查看函数时<年代ub><i>年代</我></sub>作为向量，空间<我>H</我><sub><i>t</我></sub>多项式的阶数<我>t</我>,对于任何<我>t</我>，由函数{<年代ub><i>年代</我></sub>: |<我>年代</我>|<我>t</我>}。这意味着要得到最佳的低阶近似<我>G</我>我们应该简单地把它投影到<我>H</我><sub><i>t</我></sub>,获得</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/c7c60240-a1f6-413a-9fd7-cd3ff9b62994/eq04.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="eq04.gifgydF4y2Ba"></p> <p>请注意,<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/b1bd949b-e067-4618-aeed-4ef46217c8cb/cacm5404_g.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_g.gifgydF4y2Ba">不再是布尔函数，可以取任意实数，即使输入为{-1，+1}<年代up><i>n</我></sup>．的<我>l</我><sub>2</年代ub>-错误，我们需要约束它来证明引理2由</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/86c6bc15-0a49-48e0-8625-2c68d8f57310/eq05.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="eq05.gifgydF4y2Ba"></p> <p>为了确定(5)，我们需要表明，在的傅里叶表示中，除了很小的一部分之外，所有的权重<我>G</我>集中在低度系数上。这就是Linial等人的魔力所在。<年代up><a href="#R8">8</gydF4y2Baa></sup>发生了，这就是事实<我>G</我>是由<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路正在被使用。</pgydF4y2Ba> <p>在一个非常高的层次上，证明使用<我>随机的限制。</我>随机限制分配大部分<我>G</我>的输入为随机值0或1，同时保留一些未设置的输入。一种叫做<我>切换引理</我>然后用来表明当随机限制应用于和<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>函数<我>G</我>，得到的布尔函数<我>G</我>|<年代ub></sub>非常有可能非常“简单”，这取决于仅有的几个输入。另一方面，随机限制适用于<年代ub><i>年代</我></sub>在|<我>年代</我>|较大，可能会将一些输入留在<我>年代</我>未设置的。因此,如果<我>G</我>系数的权重很大吗<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/b4e5043c-bac2-4f05-9a74-f1c80e62700b/cacm5404_f.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_f.gifgydF4y2Ba">（<我>年代</我>)，且|较大<我>年代</我>|,<我>G</我>|<年代ub></sub>可能会保持“复杂”，即使在应用。</pgydF4y2Ba> <p>引理2立即暗示了一个下界<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路计算<我>奇偶校验</我>的傅里叶表示<我>奇偶校验</我>是<年代ub><i>年代</我></sub>（<我>奇偶校验</我>) = 1<我>年代</我>= (<我>n</我>]，否则为0。因此<我>奇偶校验</我>不能很好地用偶数次多项式近似<我>t = n</我>- 1。</pgydF4y2Ba> <p>引理2的一个有趣应用超出了本文的范围，用于学习<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>功能。假设<我>G</我>是一个未知的<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>大小的函数<我>米</我>，我们可以访问表单的示例(<我>x, G (x))</我>,在那里<我>x</我>一致地从{-1，+1}中选择<年代up><i>n</我></sup>．我们知道<我>G</我>具有(4)形式的很好的多项式逼近。因此(大约)学习<我>G</我>，我们要做的就是学习系数<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/b4e5043c-bac2-4f05-9a74-f1c80e62700b/cacm5404_f.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_f.gifgydF4y2Ba">（<我>年代</我>),<我>年代</我>很小。这可以在与2成比例的时间内完成<年代up>|<我>年代</我>|</年代up>，立即屈服<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/c03df29d-ea6b-44ca-9642-b2ed899fe00d/cacm5404_p.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_p.gifgydF4y2Ba">学习算法<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路。</pgydF4y2Ba> <p class="totop"><a href="#PageTop">回到顶部</gydF4y2Baa></p> <a name="body-4"></a> <h3>4.低深度电路与多项式代数连接</gydF4y2Bah3> <p>事实证明，平均误差逼近并不是唯一有用的方法<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路可以用低次多项式来近似。在上一节中，我们已经看到任何布尔函数的多重线性多项式表示都是唯一的，因此给定一个<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>函数<我>F</我>我们不能指望得到一个低次多项式<我>f</我>,同意<我>F</我>无处不在。然而，我们将看到，构造一个低次多项式是可能的<我>f</我>,同意<我>F几乎无处不在。</我>具体来说，以下语句成立:</pgydF4y2Ba> <p>引理3。<我>设v是上的任意概率分布</我>{0,1}<年代up><i>n</我></sup>．<我>对于深度为d、尺寸为m的电路，计算函数F，对于任意s，有一个度r = (s)</我>·日志<我>米)<年代up>d</年代up>多项式f这样</我><b>P</gydF4y2Bab><sub><i>v</我></sub>［<我>f (x) < f (x)</我>) < 0.82<年代up><i>年代</我></sup><i>米</我>．</pgydF4y2Ba> <p>注意，引理3承诺了一个近似多项式，同样是次数(log<我>米</我>）<年代up><i>O (d)</我></sup>，它对an的误差很小<我>任意分布v</我>在输入。引理的陈述在下面加以说明<gydF4y2Baa href="#F2">图2 (a)</gydF4y2Baa>，其中概率根据<我>v</我>地区之间的分歧<我>f</我>而且<我>F</我>很小。</pgydF4y2Ba> <p>引理3(或其微小的变化)已被Razborov证明<年代up><a href="#R11">11</gydF4y2Baa></sup>和Smolensky<年代up><a href="#R13">13</gydF4y2Baa></sup>20世纪80年代末。证明引理的工具已经在Valiant和Vazirani开发出来了。<年代up><a href="#R14">14</gydF4y2Baa></sup>Razborov和Smolensky利用引理给出了有界深度电路上更强的下界。让<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>［<我>p</我>］<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>是一类可使用有界深度电路计算的函数，该电路除了允许使用与门和OR门外，还允许使用<我>国防部</我><sub><i>p</我></sub>门:门输出1当且仅当其输入中的1个数能被整除<我>p。</我>我们已经知道了<我>奇偶校验</我><b>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>,因此<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>[２]<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/b4731f70-3310-47d6-9c97-1301214029b7/cacm5404_h.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_h.gifgydF4y2Ba"><b>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>．Razborov和Smolensky表明<我>国防部</我><sub><i>p</我></sub>函数不能被有效地计算<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>［<我>问</我>)电路,<我>问</我><i>p</我>．特别是，这意味着<我>奇偶校验</我><b>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>[3]。</pgydF4y2Ba> <p>引理3的证明是组合的，比引理2的证明简单得多。事实上，我们将在下面展示它的整个证明。为了得到第5节的结果，我们需要稍微加强一下引理。</pgydF4y2Ba> <p>引理4。<我>设v是上的任意概率分布</我>{0,1}<年代up><i>n</我></sup>．<我>对于深度为d、尺寸为m的电路，计算函数F，对于任意s，有一个度r</我>= (<我>年代</我>·日志<我>米</我>）<年代up><i>d</我></sup><i>多项式f和一个布尔函数</我><sub><i>v</我></sub>可由深度电路计算<我>d</我>+ 3<我>和大小O (m<年代up>2</年代up>右),</我></p> <ul class="acm"> <li><b>P</gydF4y2Bab><sub><i>v</我></sub>［<年代ub><i>v</我></sub>（<我>x</我>) = 1] < 0.82<年代up><i>年代</我></sup><i>m,</我></li> <li><i>每当</我><sub><i>v</我></sub>（<我>x</我>) = 0,<我>f</我>（<我>x</我>) =<我>F</我>（<我>x</我>)．</l我> </ul> <p>因此，不仅引理3中的多项式存在，而且存在一个简单的<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>“错误电路”<年代ub><i>v</我></sub>给定一个输入就能告诉我们是否<我>f</我>会在输入时出错。这个函数<年代ub><i>v</我></sub>显示在<gydF4y2Baa href="#F2">图2 (b)</gydF4y2Baa>．</pgydF4y2Ba> <p>现在我们要证明引理4。这个构造的一个奇怪的性质是它给出了一个产生低次多项式的概率算法<我>f</我>,接近<我>F</我>几乎无处不在。</pgydF4y2Ba> <p>证明。(引理4)我们构造多项式<我>f</我>通过对深度的归纳<我>d</我>的<我>F</我>，并以高概率显示出来<我>f = f。</我>这个函数<年代ub><i>v</我></sub>从构造开始。注意，我们对度量一无所知<我>v</我>因此不能给出明确的构造<我>f。</我>相反，我们将构造多项式的分布<我>f</我>对于任何给定的输入，它都有很高的概率成功。因此，期望分布具有较低的误差<我>v</我>，这意味着存在一个特定的<我>f</我>它有一个小误差<我>v。</我></p> <p>我们将展示当输出门进入时如何进行步骤<我>f</我>是一个<我>和</我>门(见<gydF4y2Baa href="#F3">图3</gydF4y2Baa>)．由于整个构造对于0和1是对称的，因此对于an来说，这个步骤也是成立的<我>或</我>门。让</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/bf93817f-b5e4-417d-a06d-56feb5953327/ueq14.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq14.gifgydF4y2Ba"></p> <p>在哪里<我>k < m。</我>为了方便起见，我们假设<我>k</我>= 2<年代up><i>l</我></sup>是2的幂。我们收集</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/b5594771-3940-4ae2-aaa2-988ffef3cf2b/ueq15.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq15.gifgydF4y2Ba"></p> <p>{1, 2，…，<我>k</我>}，其中每个元素都包含概率<我>p</我>至少是独立于其他因素的<我>年代</我>的子集<我>p</我>= 2<年代up>1</年代up>, 2<年代up>2</年代up>、……2<年代up><i>- c</我></sup>= 1 /<我>k。</我>表示集合为<我>年代</我><sub>1</年代ub>、……<我>年代</我><sub><i>t</我></sub>我们忽略空集合。此外，我们确保包含{1，…，<我>k</我>}作为集合之一。让<我>g</我><sub>1</年代ub>、……<我>g</我><sub><i>k</我></sub>的近似多项式<我>G</我><sub>1</年代ub>、……<我>G</我><sub><i>k</我></sub>这是由归纳法假设保证的<我>G</我><sub>1</年代ub>、……<我>G</我><sub><i>k</我></sub>随深度<我>d</我>- 1。我们设置</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/8f2f06b2-fef8-4686-b2b1-01f5e9bcd207/ueq16.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq16.gifgydF4y2Ba"></p> <p>通过归纳假设，度<我>g</我><sub><i>j</我></sub>是<我>度</我><sub><i>g</我></sub>（<我>年代</我>·日志<我>米</我>）<年代up><i>d</我>1</年代up>，因此程度<我>f</我>是有界的<我>度<年代ub>f</年代ub>t·度</我><sub><i>g</我></sub>（<我>年代</我>·日志<我>米</我>）<年代up><i>d</我></sup>．接下来我们限制误差<gydF4y2Bab>P</gydF4y2Bab>［<我>f f</我>］．它包括两个术语:</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/d1e3523a-bb1a-4251-9d93-e0390834c6c2/eq06.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="eq06.gifgydF4y2Ba"></p> <p>换句话说，要犯错误的话，最终输入的任何一个<我>和</我>gate一定是错误的，或者AND的近似函数一定是错误的。我们将专注于第二项。第一项受联合界限制。我们固定一个特定值的向量<我>G</我><sub>1</年代ub>（<我>x</我>),…<我>G</我><sub><i>k</我></sub>（<我>x</我>)，并计算随机集合中可能的选择出现误差的概率<我>年代</我><sub><i>我</我></sub>．</pgydF4y2Ba> <p>如果所有的<我>G</我><sub><i>j</我></sub>（<我>x</我>)的值为1<我>F (x)</我>= 1的正确计算概率为1。</pgydF4y2Ba> <p>假设<我>F (x)</我>= 0(因此至少有一个<我>G<年代ub>j</年代ub>(x)</我>s = 0)，设为1<我>z</我><i>k</我>是其中0的个数<我>G</我><sub>1</年代ub>（<我>x</我>),…<我>G<年代ub>k</年代ub>(x</我>)，并且是这样的2<年代up></sup><i>z</我>< 2<年代up>＋1</年代up>．我们的公式将正确地工作，如果其中一个集合<我>年代</我><sub><i>我</我></sub>支安打<我>完全</我>其中一个0<我>z</我>0的<我>G</我><sub>1</年代ub>（<我>x</我>),…<我>G</我><sub><i>k</我></sub>（<我>x</我>)．我们只考虑集合<我>年代</我><sub><i>我</我></sub>超过这个数可能正好达到0。具体地说,让<我>年代</我>作为一个随机集如上<我>p</我>= 2<年代up>——1</年代up>．的概率<我>年代</我>正好碰到1个0就是正好</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/2f2abdf9-1741-476c-9900-2dcd6ab5f8d6/ueq17.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq17.gifgydF4y2Ba"></p> <p>因此之后公式出错的概率<我>年代</我>这些集合的边界是0.82<年代up><i>年代</我></sup>．因为这对任何值都成立<我>x</我>，我们可以找到集合的集合<我>年代</我><sub><i>我</我></sub>误差的概率由<我>v</我>最多是0.82<年代up><i>年代</我></sup>．通过在每个节点上进行相同的概率论证并应用联合界，我们得到，除概率< 0.82外，所有节点都满足“如果输入正确，那么输出也正确”的条件<年代up><i>年代</我></sup><i>米</我>．因此多项式的误差小于0.82<年代up><i>年代</我></sup><i>米</我>．</pgydF4y2Ba> <p>最后，如果我们知道集合<我>年代</我><sub><i>我</我></sub>在每个节点上，通过检查没有一个集合恰好包含一个0，很容易检查是否存在错误，从而得到深度(<我>d</我>+ 3)函数<年代ub><i>v</我></sub>．尺寸上的放大是最多的<我>O</我>（<我>先生</我>)，因为在每个节点上，我们对所有可能的(<我>年代</我><sub><i>我</我></sub>，<我>G</我><sub><i>j</我></sub><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/e2bf1388-3199-4f7e-9da0-ccd4a1824f86/isin.gif" border="0" hspace="2" alt="isin.gifgydF4y2Ba"><i>年代</我><sub><i>我</我></sub>)是否<我>G</我><sub><i>j</我></sub>集合中只有0吗<我>年代</我><sub><i>我</我></sub>．</pgydF4y2Ba> <p class="totop"><a href="#PageTop">回到顶部</gydF4y2Baa></p> <a name="body-5"></a> <h3>5.<我>K</我>-明智的独立分布和低深度电路</gydF4y2Bah3> <p>接下来我们将注意力转向证明主要结果，定理1。结果将给出另一种方式<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路可以用低次多项式来近似。</pgydF4y2Ba> <p>定理1。<我>R (m, d，)-独立性-傻瓜深度d<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>大小为m的电路，其中</我></p> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/9b3aec04-3348-4207-ba51-4d3981b7bd61/ueq18.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq18.gifgydF4y2Ba"></p> <p>为了证明定理1，我们将证明:</pgydF4y2Ba> <p>引理5。<我>让年代</我>日志<我>M是任意参数。设F为深度d、尺寸m的电路计算的布尔函数。设为与r无关的分布，其中</我></p> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/998cce44-80e0-48c3-9ffe-fd9d42052b6a/ueq19.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq19.gifgydF4y2Ba"></p> <p><i>然后</我></p> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/c471affb-a5ff-4c75-9d9c-eba3f6c5dcf8/ueq20.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq20.gifgydF4y2Ba"></p> <p><i>在哪里</我>（<我>年代,维</我>) = 0.82<年代up><i>年代</我></sup>·(10<我>米</我>)．</pgydF4y2Ba> <p>定理1从引理5得到<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/88b7c0ec-63e6-4f06-b8ed-c9ea39d8fe89/cacm5404_q.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_q.gifgydF4y2Ba">．</pgydF4y2Ba> <p>正如概述中提到的，人们可以证明这一点<我>k</我>明智的独立性会愚弄函数<我>F</我>通过构造一个适当的近似<我>F</我>用低阶多项式。宝宝<年代up><a href="#R2">2</gydF4y2Baa></sup>给出了利用线性规划对偶进行多项式逼近糊弄的等价表征如下:</pgydF4y2Ba> <p>引理6。<我>让F:</我>{0,1}<年代up><i>n</我></sup>{0,1}<我>是一个布尔函数，k</我>0<我>一个整数,</我>> 0。<我>那么以下是等价的:</我><sup><a href="#R2">2</gydF4y2Baa></sup></p> <ol> <li><i>任何k无关分布-愚弄F。</我></li> <li><i>存在一对“夹入多项式”f</我><sub><i>l</我></sub>，<我>f</我><sub><i>u</我></sub>: {0,1}<年代up><i>n</我></sup>R<我>这样:</我></li> </ol> <ul class="acmNested"> <li><b>程度低</gydF4y2Bab>：<我>度</我>（<我>f</我><sub><i>l</我></sub>)，<我>度</我>（<我>f</我><sub><i>u</我></sub>）<我>k</我>；</l我> <li><b>夹层</gydF4y2Bab>：<我>f<年代ub>l</年代ub>F F<年代ub>u</年代ub>在</我>{0,1}<年代up><i>n</我></sup>；</l我> <li><b>小的错误</gydF4y2Bab>：<gydF4y2Bab>E</gydF4y2Bab>［<我>F</我>-<我>f</我><sub><i>l</我></sub>),<gydF4y2Bab>E</gydF4y2Bab>［<我>f</我><sub><i>u</我></sub>-<我>F</我>),<我>关于均匀分布的期望在哪里</我>{0,1}<年代up><i>n</我></sup>．</l我> </ul> <p>中间多项式在文中作了说明<gydF4y2Baa href="#F4">图4 (a)</gydF4y2Baa>．因为我们需要证明引理6的第(1)部分，所以我们只对(2)感兴趣。<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/3d93b78f-0439-4789-8160-cdfe7944064a/drarr.gif" border="0" hspace="2" alt="drarr.gifgydF4y2Ba">(1)定理的“方向”，即“易”方向，我们可以在这里证明。设(2)成立，设为任意<我>k</我>在某方面独立分布。的多项式<我>f</我><sub><i>l</我></sub>的程度<我>k</我>，如第2节所述，这意味着<gydF4y2Bab>E</gydF4y2Bab><sub></sub>［<我>f</我><sub><i>l</我></sub>]=<gydF4y2Bab>E</gydF4y2Bab>［<我>f</我><sub><i>l</我></sub>］．因此,</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a15ad48d-db52-4c00-8e84-8eaf5ac0d3f8/ueq21.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq21.gifgydF4y2Ba"></p> <p>第一个不等式使用三明治属性，最后一个不等式使用小误差属性。同样的,</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/4dac92cc-b3b7-418d-9043-86c02a1b847a/ueq22.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq22.gifgydF4y2Ba"></p> <p>这意味着傻瓜<我>F</我>．这就是愚弄的问题<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>电路实际上是用多项式近似电路的另一个问题!</pgydF4y2Ba> <p>我们对引理5的实际证明不会产生一对夹心多项式，但“几乎”会产生这样的一对多项式。“(1)<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/3d93b78f-0439-4789-8160-cdfe7944064a/drarr.gif" border="0" hspace="2" alt="drarr.gifgydF4y2Ba">(2)“引理6的方向，我们知道定理1暗示这样的一对必须存在于每个<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>函数。</pgydF4y2Ba> <p><img src="https://portal.acm.org/images/bullet.gif" vspace="2" alt="＊gydF4y2Ba"><b>5.1引理5的证明</gydF4y2Bab></p> <p>证明将结合我们在第3节和第4节中讨论的两种多项式逼近。当我们在第4节给出几乎处处正确的多项式时，我们注意到当多项式<我>f</我>也不同意<我>F</我>，分歧可能会非常大。对于最大值||，仍然可以给出以下非常粗略的界限<我>f</我>||<年代ub></sub>, |<我>f</我>在{0,1}上可以达到|<年代up><i>n</我></sup>：</pgydF4y2Ba> <p>要求7。<我>在引理4中，对于s</我>日志<我>米</我></p> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/1a0b3eb7-9d7c-470a-9f98-8cbbedf9a946/ueq23.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq23.gifgydF4y2Ba"></p> <p>根据引理4的证明，这个断言后面有一个简单的归纳。这里我们省略了证明。</pgydF4y2Ba> <p>一个低度多项式<我>f</我><sub>0</年代ub>是一个<我>片面的</我>布尔近似<我>F</我>(见<gydF4y2Baa href="#F4">图4 (b)</gydF4y2Baa>)如果:</pgydF4y2Ba> <ul class="acm"> <li><i>f</我><sub>0</年代ub><b>是一个很好的近似</gydF4y2Bab>: | |<我>F - F</我><sub>0</年代ub>||<年代up>2</年代up><sub>2</年代ub>很小。</l我> <li><i>f</我><sub>0</年代ub>的<gydF4y2Bab>错误是片面的</gydF4y2Bab>：<我>f</我><sub>0</年代ub>（<我>x</我>) = 0<我>F</我>（<我>x</我>) = 0。</l我> </ul> <p>如果<我>F</我>有这样的近似，然后是多项式<我>f</我><sub><i>l</我></sub>:=1 - (1 -<我>f</我><sub>0</年代ub>）<年代up>2</年代up>会是一个(下)三明治多项式<我>F。</我><i>f</我><sub><i>l</我></sub>仍然有一个低的程度，和</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/11810de9-4c06-40d3-b05d-516a328fc631/ueq24.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq24.gifgydF4y2Ba"></p> <p>很小。说明了这个过程<gydF4y2Baa href="#F4">图4 (c)</gydF4y2Baa>．</pgydF4y2Ba> <p>因此，能够产生单方面的近似(结合第3节和第4节近似的特征)就足够了。不幸的是，我们无法构造这样的多项式。相反，我们展示如何修改<我>F</我>只是为了得到一个布尔函数<我>F</我>”。对于两者和统一测量来说，变化是足够微小的，所以愚弄<我>F</我>”和欺骗<我>F</我>几乎是等价的。然后我们展示了修改过的<我>F</我>’确实有一种片面的近似<我>f</我>”。的属性<我>F</我>”,<我>f</我>的引理总结如下:</pgydF4y2Ba> <p>引理8。<我>设F由深度为d、尺寸为m的电路计算。设为s</我><sub>1</年代ub>，<我>年代</我><sub>2</年代ub><i>是两个带s的参数</我><sub>1</年代ub>·<我>log m，设为任意的概率分布</我>{0,1}<年代up><i>n</我></sup>，<我>和你</我><sub>{0,1}</年代ub><sup><i>n</我></sup><i>被均匀分布上</我>{0,1}<年代up><i>n</我></sup>．<我>集</我></p> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/52bc7ccf-471f-400b-9135-a2e7df9416a4/ueq25.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq25.gifgydF4y2Ba"></p> <p>让<年代ub><i>v</我></sub><i>是引理4中的函数，s = s</我><sub>1</年代ub>．<我>设F' = F</我><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a222144b-e82a-4ca5-8241-289a9a0ad0c1/or.gif" border="0" hspace="2" alt="or.gifgydF4y2Ba"><sub><i>v</我></sub>．<我>然后有一个多项式f' (r次</我><sub><i>f</我></sub>（<我>年代</我><sub>1</年代ub>·日志<我>米</我>）<年代up><i>d</我></sup>+<我>年代</我><sub>2</年代ub>，<我>这样</我></p> <ul class="acm"> <li><i>F</我><i>F</我>＇<我>在</我>{0,1}<年代up><i>n</我></sup>；</l我> <li><b>P</gydF4y2Bab><sub></sub>［<我>F</我><i>F</我>< 2·0.82<年代up><i>年代</我></sup>1<我>米</我>；</l我> <li>||<我>F</我>”- - -<我>f</我>“| |<年代up>2</年代up><sub>2</年代ub><<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/c07d265c-b244-4c54-85f6-9a77bbefd453/cacm5404_i.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_i.gifgydF4y2Ba">，<我>而且</我></li> <li><i>f</我>”(<我>x</我>) = 0<我>当F</我>”(<我>x</我>) = 0。</l我> </ul> <p>证明思想:证明说明<gydF4y2Baa href="#F5">图5</gydF4y2Baa>．我们从多项式逼近开始<我>f</我>为<我>F</我>这在“几乎所有地方”都适用。由引理4我们知道有一个<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>函数<年代ub><i>v</我></sub>它会“标记”所有错误的位置。我们修复<我>F</我>' =<我>F</我><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a222144b-e82a-4ca5-8241-289a9a0ad0c1/or.gif" border="0" hspace="2" alt="or.gifgydF4y2Ba"><sub><i>v</我></sub>这<我>f</我>= 0时<我>F</我>' = 0。问题是错误|<我>F</我>”- - -<我>f</我>|<年代up>2</年代up>可能是大面积的在哪里<年代ub><i>v</我></sub>= 1(因此<我>f</我>表现不佳)。如果我们可以相乘<我>f</我>' =<我>f</我>＇<我>f</我>·(1 -<年代ub><i>v</我></sub>)，我们就完成了，因为这将“杀死”所有的位置<年代ub><i>v</我></sub>是1。不幸的是，我们不能这样做<年代ub><i>v</我></sub>不是一个低次多项式。这里我们使用事实<年代ub><i>v</我></sub>本身就是一个<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>函数，因此可以用多项式很好地逼近<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/2bccac2c-2570-43d9-ba31-46c3ba97c544/cacm5404_j.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_j.gifgydF4y2Ba">通过LinialMansourNisan近似(引理2)。一个简单的计算确实表明<我>f</我>' =<我>f</我><sup>．</年代up>(1 -<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/2bccac2c-2570-43d9-ba31-46c3ba97c544/cacm5404_j.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_j.gifgydF4y2Ba">)<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/2bccac2c-2570-43d9-ba31-46c3ba97c544/cacm5404_j.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_j.gifgydF4y2Ba">满足所有条件。</pgydF4y2Ba> <p>证明。的定义引出第一个性质<我>F</我>”。第二个直接来自引理4,since</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/a613f338-ffc6-419d-a109-ee8ae8d6e3b0/ueq26.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq26.gifgydF4y2Ba"></p> <p>还请注意,</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/45042887-300b-46bb-a29b-4499733314c2/ueq27.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq27.gifgydF4y2Ba"></p> <p>让<我>f</我>的近似多项式<我>F</我>从引理，所以<我>F</我>＝<我>F</我>' =<我>f</我>每当<年代ub><i>v</我></sub>= 0，因此<我>f</我>= 0时<我>F</我>' = 0。根据7号提案</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/5066af60-8a7c-4ed7-b3f5-b0a9a0a6f458/ueq28.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq28.gifgydF4y2Ba"></p> <p>我们让<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/2bccac2c-2570-43d9-ba31-46c3ba97c544/cacm5404_j.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_j.gifgydF4y2Ba">的低阶近似<年代ub><i>v</我></sub>的程度<我>年代</我><sub>2</年代ub>．由Linial等人。<年代up><a href="#R8">8</gydF4y2Baa></sup>(引理2)我们有</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/7200fc63-6487-434f-adb1-5aad4865b50c/ueq29.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq29.gifgydF4y2Ba"></p> <p>让</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/25687ac3-5102-44f8-97e6-bf598b6bdea5/ueq30.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq30.gifgydF4y2Ba"></p> <p>然后<我>f</我>' = 0<我>F</我>' = 0。还需要估计||<我>F</我>”- - -<我>f</我>||<年代up>2</年代up><sub>2</年代ub>：</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/2321af22-3ebc-4ea9-b066-48bef3ac53b4/ueq31.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq31.gifgydF4y2Ba"></p> <p>这样证明就完成了。</pgydF4y2Ba> <p>现在我们可以用引理8来给出它们<gydF4y2Bab>交流</gydF4y2Bab><sup>0</年代up>函数<我>F</我>一个较低的三明治多项式，至少经过一点“按摩”后:</pgydF4y2Ba> <p>引理9。<我>对于每个深度为d，大小为m的布尔电路F和任意s</我>日志<我>M，对于任意的概率分布</我>{0,1}<我>有一个布尔函数F'和一个多项式<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/70a1ff86-e316-494e-a8ee-4db6464aa120/cacm5404_r.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_r.gifgydF4y2Ba">程度小于</我></p> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/9393b75f-e9df-410f-86a0-4511c15aa190/ueq32.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq32.gifgydF4y2Ba"></p> <p><i>这样</我></p> <ul class="acm"> <li><b>P</gydF4y2Bab><sub></sub>［<我>F</我><i>F</我>'] < (<我>年代,维</我>) / 2,</l我> <li><i>F ' F '</我>{0,1}<年代up><i>n</我></sup>，</l我> <li><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/70a1ff86-e316-494e-a8ee-4db6464aa120/cacm5404_r.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_r.gifgydF4y2Ba"><i>F '</我><i>在</我>{0,1}<年代up><i>n</我></sup>,</l我> <li><b>E</gydF4y2Bab>［<我>F '</我><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/70a1ff86-e316-494e-a8ee-4db6464aa120/cacm5404_r.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_r.gifgydF4y2Ba">] < (<我>年代,维</我>) / 2,</l我> </ul> <p><i>(年代,d)</我>= 0.82<年代up><i>年代</我></sup>·(10<我>米</我>)．</pgydF4y2Ba> <p>证明。让<我>F</我>为布尔函数，让<我>f</我>是引理8的多项式<我>年代</我><sub>1</年代ub>＝<我>年代</我>而且<我>年代</我><sub>2</年代ub>60<年代up><i>d</我>＋３</年代up>·(日志<我>米</我>）<年代up>（<我>d</我>+ 1) (<我>d</我>+ 3)</年代up>．<我>年代</我><sup>d (<我>d</我>+ 3)</年代up>．前两个性质直接源于引理。集</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/e174eedd-4e41-4a33-9201-7817ca09f1a6/ueq33.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq33.gifgydF4y2Ba"></p> <p>很明显<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/70a1ff86-e316-494e-a8ee-4db6464aa120/cacm5404_r.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_r.gifgydF4y2Ba">1,此外<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/70a1ff86-e316-494e-a8ee-4db6464aa120/cacm5404_r.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_r.gifgydF4y2Ba">= 0时<我>F</我>= 0，因此<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/70a1ff86-e316-494e-a8ee-4db6464aa120/cacm5404_r.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_r.gifgydF4y2Ba"><i>F</我>”。最后,<我>F</我>”(<我>x</我>) - - -<我>f</我>＇<年代ub><i>l</我></sub>（<我>x</我>) = 0时<我>F</我>”(<我>x</我>) = 0，并且等于</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/cc927797-9a42-4c96-84eb-7da3623b4436/ueq34.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq34.gifgydF4y2Ba"></p> <p>当<我>F</我>”(<我>x</我>) = 1，因此</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/154694a0-85ef-4995-8531-a28351977f5a/ueq35.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq35.gifgydF4y2Ba"></p> <p>由引理8。为了完成证明，我们要注意程度<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/70a1ff86-e316-494e-a8ee-4db6464aa120/cacm5404_r.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_r.gifgydF4y2Ba">是有界的</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/cf0e7273-feac-4eac-b435-d07cb66aaa71/ueq36.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq36.gifgydF4y2Ba"></p> <p>引理9暗示如下:</pgydF4y2Ba> <p>引理10。<我>让年代</我>日志<我>M是任意参数。设F为深度d、尺寸m的电路计算的布尔函数。设为与r无关的分布，其中</我></p> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/f4c90435-a9f8-45ed-a378-bddc4c5ea4e4/ueq37.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq37.gifgydF4y2Ba"></p> <p><i>然后</我></p> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/08daa141-7828-463a-9e37-cc99c4e3fe10/ueq38.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq38.gifgydF4y2Ba"></p> <p><i>在哪里</我>（<我>年代,维</我>) = 0.82<年代up><i>年代</我></sup>·(10<我>米</我>)．</pgydF4y2Ba> <p>证明。让<我>F</我>为布尔函数，让<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/70a1ff86-e316-494e-a8ee-4db6464aa120/cacm5404_r.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_r.gifgydF4y2Ba">是引理9的多项式。的程度<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/70a1ff86-e316-494e-a8ee-4db6464aa120/cacm5404_r.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_r.gifgydF4y2Ba">是<<我>r。</我>我们用since is这个事实<我>r</我>独立,<gydF4y2Bab>E</gydF4y2Bab><sub></sub>［<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/70a1ff86-e316-494e-a8ee-4db6464aa120/cacm5404_r.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_r.gifgydF4y2Ba">]=<gydF4y2Bab>E</gydF4y2Bab>［<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/70a1ff86-e316-494e-a8ee-4db6464aa120/cacm5404_r.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_r.gifgydF4y2Ba">)(因为<我>k</我>智独立愚度-<我>k</我>多项式，如上所述):</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/6a386a32-ba14-4a1a-af62-82f8b9964fa3/ueq39.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq39.gifgydF4y2Ba"></p> <p>引理10的对偶不等式立即通过将引理应用于否定而得到<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/38bc619b-6c2c-45ee-aacf-08136e5af639/cacm5404_k.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_k.gifgydF4y2Ba">= 1 -<我>F</我>的<我>F。</我>我们有<gydF4y2Bab>E</gydF4y2Bab><sub></sub>［<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/38bc619b-6c2c-45ee-aacf-08136e5af639/cacm5404_k.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_k.gifgydF4y2Ba">) ><gydF4y2Bab>E</gydF4y2Bab>［<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/38bc619b-6c2c-45ee-aacf-08136e5af639/cacm5404_k.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_k.gifgydF4y2Ba">) - (<我>年代,维</我>),因此</pgydF4y2Ba> <p align="center"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/d043d987-8151-4985-9264-e7cd0b685e3f/ueq40.gif" border="0" hspace="2" vspace="5" alt="ueq40.gifgydF4y2Ba"></p> <p>这两个表述加起来得到引理5。</pgydF4y2Ba> <p class="totop"><a href="#PageTop">回到顶部</gydF4y2Baa></p> <div id="article-references"> <a name="references"></a> <h3 class="known-headings">参考文献</gydF4y2Bah3> <p><a name="R1"></a>1.阿隆，N.， Babai, L.，和伊泰，A.，一个快速和简单的随机并行算法的最大独立集问题。<我>7 j .算法。</我>， 4(1986)， 567583。</pgydF4y2Ba> <p><a name="R2"></a>2.多对数独立性可以骗过DNF公式。<我>暹罗j .第一版。</我>(2009),出现。</pgydF4y2Ba> <p><a name="R3"></a>3.多对数独立性欺骗ACO电路。<我>j . ACM 57</我>， 5(2010)， 110。</pgydF4y2Ba> <p><a name="R4"></a>4.狼,R。<我>布尔立方体傅里叶分析简介。</我>在毕业生调查中排名第一。计算机图书馆理论，2008。</pgydF4y2Ba> <p><a name="R5"></a>5.弗斯特，M.，萨克斯，J.， Sipser, M.宇称，电路，和多项式时间层次。<我>定理。第一版。系统。17</我>， 1(1984)， 1327。</pgydF4y2Ba> <p><a name="R6"></a>6.小深度电路的几乎最优下界。在<我>第十八届ACM计算理论年会论文集</我>(1986)， acm, ny, 20。</pgydF4y2Ba> <p><a name="R7"></a>7.约菲，a。关于一组几乎确定的<我>k</我>独立随机变量。<我>安。Probab。2</我>， 1(1974)， 161162。</pgydF4y2Ba> <p><a name="R8"></a>8.线性，N.，曼苏尔，Y.，尼森，N.等深度电路，傅里叶变换和可学习性。<我>j . ACM 40</我>， 3(1993)， 607620。</pgydF4y2Ba> <p><a name="R9"></a>9.Linial, N.， Nisan, N.近似包含-排除。<我>Combinatorica 10</我>， 4(1990)， 349365。</pgydF4y2Ba> <p><a name="R10"></a>10.恒定深度电路的伪随机比特。<我>Combinatorica 11</我>， 1(1991)， 6370。</pgydF4y2Ba> <p><a name="R11"></a>11.具有逻辑加法的完备基上有界深度网络大小的下界。<我>数学。专科学校Sci指出。苏联41</我>， 4(1987)， 333338。</pgydF4y2Ba> <p><a name="R12"></a>12.拉兹博罗夫，A.A.巴兹定理的一个简单证明。在<我>计算复杂性电子讨论会。</我>报告tr08 - 081, 2008。</pgydF4y2Ba> <p><a name="R13"></a>13.布尔电路复杂性下界理论中的代数方法。在<我>第十九届ACM计算理论年会论文集(STOC'87)</我>(1987)， acm, ny, 7782。</pgydF4y2Ba> <p><a name="R14"></a>14.Valiant, L.G, Vazirani, v.v.np，与发现唯一解一样简单。在<我>第十七届ACM计算理论年会论文集(STOC'85)</我>(1985)， acm, ny, 458463。</pgydF4y2Ba> </div> <p class="totop"><a href="#PageTop">回到顶部</gydF4y2Baa></p> <div id="article-authorinfo"> <a name="authorinfo"></a> <h3 class="known-headings">作者</gydF4y2Bah3> <p><b>马克·布雷弗曼</gydF4y2Bab>多伦多大学。</pgydF4y2Ba> </div> <p class="totop"><a href="#PageTop">回到顶部</gydF4y2Baa></p> <div id="article-footnotes"> <a name="footnotes"></a> <h3 class="known-headings">脚注</gydF4y2Bah3> <p>这篇论文的前一个版本发表在<我>IEEE计算复杂性会议论文集</我>(2009)和<我>美国计算机学会学报</我>5(2010)。</pgydF4y2Ba> <p>DOI:<gydF4y2Baa href="http://doi.acm.org/10.1145/1924421.1924446">http://doi.acm.org/10.1145/1924421.1924446</gydF4y2Baa></p> </div> <p class="totop"><a href="#PageTop">回到顶部</gydF4y2Baa></p> <div id="article-figures"> <a name="figures"></a> <h3 class="known-headings">数据</gydF4y2Bah3> <p class="ThumbnailParagraph"><a name="F1"></a><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/e78e1b0a-18ee-4954-bd68-b05df1ab4bd9/f1.jpg" class="ThumbnailLink"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/8fbc2823-58a7-42c7-b753-5ea87b806b17/f1.jpg" border="0" alt="F1gydF4y2Ba"></a>图1。引理2的一个说明。为了方便起见，布尔多维数据集用实线表示。这个函数<我>F</我>(灰色的)是一台交流电<年代up>0</年代up>布尔函数。这个函数<我米g年代rc＝"https://dl.acm.org/cms/attachment/6da8b6ee-4bb7-4e5a-b8e4-16d7f1f397c7/cacm5404_b.gif" border="0" hspace="2" alt="cacm5404_b.gifgydF4y2Ba">(黑色)是一个实值低次多项式逼近<我>F</我>好吧<我>平均</我>．</pgydF4y2Ba> <p class="ThumbnailParagraph"><a name="F2"></a><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/91be71cb-aaa7-4c83-b209-0d148029f40a/f2.jpg" class="ThumbnailLink"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/f31bc742-3412-48b3-ab2b-327afba9b6d0/f2.jpg" border="0" alt="F2gydF4y2Ba"></a>图2。引理3 (a)和引理4 (b)的说明。注意当低次多项式<我>f</我>也不同意<我>F</我>我们不能很好地保证误差。这意味着<我>f</我>可能是一个很好的近似值几乎在所有地方，但不是平均。</pgydF4y2Ba> <p class="ThumbnailParagraph"><a name="F3"></a><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/c548249b-b1d6-4967-a869-b5eb7825a6d0/f3.jpg" class="ThumbnailLink"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/051f9771-51cf-4039-83a3-679a7372a200/f3.jpg" border="0" alt="F3gydF4y2Ba"></a>图3。一个归纳步骤的说明，其中一个近似多项式<我>f</我>是由近似多项式构造的吗<我>g</我><sub>1</年代ub>，<我>g</我><sub>2</年代ub>、……<我>g</我><sub><i>k</我></sub>．</pgydF4y2Ba> <p class="ThumbnailParagraph"><a name="F4"></a><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/a2367162-5887-410d-bce6-c88ed04a8b2c/f4.jpg" class="ThumbnailLink"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/d6b98e4a-3100-407d-a483-374e3a24181f/f4.jpg" border="0" alt="F4gydF4y2Ba"></a>图4。夹心多项式(a)和单边逼近(b)(c)的说明。</pgydF4y2Ba> <p class="ThumbnailParagraph"><a name="F5"></a><a href="https://dl.acm.org/cms/attachment/b8a7146a-5ac2-4518-9f90-da14786d94c8/f5.jpg" class="ThumbnailLink"><img src="https://dl.acm.org/cms/attachment/1471610f-9e31-49bf-bff5-561ff106f26b/f5.jpg" border="0" alt="F5gydF4y2Ba"></a>图5。引理8的证明。</pgydF4y2Ba> </div> <p class="totop"><a href="#PageTop">回到顶部</gydF4y2Baa></p> <div id="article-permission"> <hr class="Separator"> <a name="permission"></a> <p><b>©2011 acm 0001-0782/11/0400 $10.00</gydF4y2Bab></p> <p>如果您不是为了盈利或商业利益而制作或分发本作品的部分或全部，并在第一页注明本通知和完整引用，则允许您免费制作本作品的部分或全部数字或纸质副本，供个人或课堂使用。本作品的组成部分必须由ACM以外的其他人享有版权。信用文摘是允许的。以其他方式复制、重新发布、在服务器上发布或重新分发到列表，需要事先获得特定的许可和/或费用。请求发布的权限<gydF4y2Baa href="mailto:permissions@acm.org">permissions@acm.org</gydF4y2Baa>或传真(212)869-0481。</pgydF4y2Ba> </div> <p>数字图书馆是由计算机协会出版的。版权所有©2011 ACM股份有限公司</pgydF4y2Ba> <div class="clearer"></div> <hr class="thick"> <a name="comments"></a> <div id="ArticleComments"> <span id="CommentHeader"></span> </div> <p class="view-all">没有发现记录</pgydF4y2Ba> </div> <div class="col3 floatLeft lastCol"> <div class="signInWidget widget"> <span class="signInTitle">登录<年代pan class="noTransform">为完全访问</年代pan></span> <form action="//www.eqigeno.com/login" method="post"> <div class="portaInputSignIn"> <label for="inputUser" class="inField">用户名</lgydF4y2Baabel> <input name="current_member[user]" type="text" id="inputUser"> </div> <div class="portaInputSignIn"> <label for="inputPassword" class="inField">密码</lgydF4y2Baabel> <input type="password" name="current_member[passwd]" id="inputPassword"> </div> <a href="//www.eqigeno.com/accounts/forgot-password" class="subText">»忘记密码?</gydF4y2Baa> <a href="//www.eqigeno.com/accounts/new" class="subText"><strong>*创建ACM Web帐户</年代tr在g></a> <button type="submit" class="submitSignIn">登录</gydF4y2Babutton> </form> </div> <div id="article-contents-widget" class="widget contentsWidget"> <h6 class="loud">文章内容:</gydF4y2Bah6> <ul> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-1">1.简介</gydF4y2Baa></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-2">2.证据的概述</gydF4y2Baa></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-3">3.低深度电路与多项式解析连接</gydF4y2Baa></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-4">4.低深度电路与多项式代数连接</gydF4y2Baa></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#body-5">5.<我>K</我>-明智的独立分布和低深度电路</gydF4y2Baa></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#references">参考文献</gydF4y2Baa></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#authorinfo">作者</gydF4y2Baa></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#footnotes">脚注</gydF4y2Baa></li> <li class="miniWidgetItem"><a href="#figures">数据</gydF4y2Baa></li> </ul> </div> <div id="SideColumn"> <div id="related-news-opinion-widget" class="blueWidget widget noBottom" data-swiftype-index="false"> <span class="widgetName">更多新闻和观点</年代pan> <div class="singleNews firstNews"> <h5><a href="//www.eqigeno.com/news/259673-researchers-protect-solar-technologies-from-cyberattack">研究人员保护太阳能技术免受网络攻击</gydF4y2Baa></h5> <span class="dateNews">佐治亚大学今天</年代pan> </div> <div class="singleNews"> <h5><a href="//www.eqigeno.com/magazines/2022/4/259396-getting-off-the-mad-path">离开疯狂的道路</gydF4y2Baa></h5> <span class="dateNews">乔治诉Neville-Neil</年代pan> </div> <div class="singleNews"> <h5><a href="//www.eqigeno.com/blogs/blog-cacm/264145-devsecops-resolving-disagreements-between-developers-and-security-teams">DevSecOps:解决开发人员和安全团队之间的分歧</gydF4y2Baa></h5> <span class="dateNews">亚历克斯Vakulov</年代pan> </div> </div> </div> </div> <a class=" hidden video-link" href="//www.eqigeno.com/magazines/2011/4/106565-poly-logarithmic-independence-fools-bounded-depth-boolean-circuits"></a> </section> <button class="to-top"></button> <footer> <nav> <ul> <li class="first-child"><a href="//www.eqigeno.com/about-communications/author-center" title="对于作者gydF4y2Ba">对于作者</gydF4y2Baa></li> <li><a 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src="http://img.baidu.com/img/logo-80px.gif" width="80px" height="29px" alt="Baidu" align="bottom" border="0"></a><input type="text" name="word" size="30" placeholder="" value=""><input type="submit" value="baidusousou"></div></form></div><div id="so360" style="text-align:center;margin-bottom:5px;"><form action="https://www.so.com/" target="_blank" id="so360form"><img src="http://p1.qhimg.com/d/_onebox/search.png" width="100px" height="25px"> <input type="text" autocomplete="off" name="q" id="so360_keyword" placeholder="" value=""> <input type="submit" id="so360_submit" value="360sousou"> <input type="hidden" name="ie" value="gbk"><input type="hidden" name="src" value="zz"> <input type="hidden" name="site" value="so.com"> <input type="hidden" name="rg" value="1"></form></div><div id="sogou" style="text-align:center;margin-bottom:5px;"><form action="https://www.sogou.com/" target="_blank" id="so360form"><img src="https://www.sogou.com/web/index/images/logo_440x140.v.4.png" width="100px" 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